مجموعات ريمان، رموز المجموع، ورموز التكامل المحدد
| English | العربية |
|---|---|
| summation notation/sʌˈmeɪʃn nəʊˈteɪʃn/ | رمز المجموع |
| definite integral/ˈdefɪnət ˈɪntɪɡrəl/ | تكامل محدد |
| limits of integration/ˈlɪmɪts ɒv ˌɪntɪˈɡreɪʃn/ | حدود التكامل |
كتابة "جمع كل المستطيلات" بشكل موجز
- المجموع الرايمان الذي يحتوي على العديد من المستطيلات يحتاج إلى ترميز نظيف — أدخل ترميز المجموع.
- $\displaystyle\sum_{i=1}^{n} f(x_i)\,\Delta x$ تعني "اجمع $f(x_i)\,\Delta x$ من $i=1$ إلى $n$.""
- لكل شريط عرض $\Delta x=\dfrac{b-a}{n}$ وارتفاع $f(x_i)$ عند نقطة عينة.
- الرمز $\Sigma$ يقول ببساطة "اجمع مساحات هذه المستطيلات."
لـ $n$ شرائح متساوية على $[a,b]$، فإن العرض $\Delta x$ هو...
عرض الفترة مقسوماً على عدد الأشرطة.
الرمز $\sum_{i=1}^{n}$ يخبرك أن...
سيجما تعني المجموع عبر نطاق الفهرس.
اجعل المستطيلات تصبح رفيعة لا نهائياً
- يتحسن التقدير كلما كبر $n$ وصغر $\Delta x$. خذ النهاية $n\to\infty$.
- في تلك النهاية يصبح مجموع المستطيلات هو المساحة الدقيقة — لا يبقى تقريب.
- قيمة النهاية هذه هي التكامل المحدد.
-
$$\int_a^b f(x)\,dx = \lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n} f(x_i)\,\Delta x$$
التكامل هو المساحة الدقيقة
y = x²
مع ترقق المستطيلات لتصبح لا نهائية، يصبح مجموعها المساحة المظللة الدقيقة — وهو التكامل المحدد.
التكامل المحدد $\int_a^b f\,dx$ هو نهاية لمجموعة ريمان عندما...
عدد لانهائي من المستطيلات الرقيقة جداً → مساحة دقيقة.
قراءة ترميز التكامل
- $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx$: الرمز $\int$ هو حرف S ممدود لـ مجموع؛ $a$ و$b$ هما حدود التكامل.
- $f(x)$ هو تكامل (ما تقوم بجمعه)؛ $dx$ هو العرض الرفيع لا نهائيًا.
- اقرأها "تكامل $f$ بالنسبة لـ $x$، من $a$ إلى $b$."
- تشير إلى المساحة الموقعة الدقيقة بين المنحنى ومحور $x$ على $[a,b]$.
في $\int_a^b f(x)\,dx$، تُسمى الدالة $f(x)$ التي يتم جمعها بـ ____.
$a,b$ هي الحدود؛ $f(x)$ هو مدخول التكامل.
لا تزال مساحة موقعة
- تماماً مثل مجموع الرايمان، التكامل المحدد هو موقع.
- حيث $f>0$ يضيف التكامل المساحة؛ حيث $f<0$ يطرحها.
- لذا يمكن أن يكون $\int_a^b f\,dx$ موجباً، سالباً، أو صفراً.
- $\Delta x$ يحمل الاتجاه: الانتقال من $a$ إلى $b$ مع $a
يُقيّم التكامل المحدد $\int_a^b f\,dx$ إلى رقم واحد.
إنه رقم مساحة موجهة، وليس دالة.
إذا كان $f(x)<0$ على كامل $[a,b]$، فإن $\int_a^b f\,dx$ هو...
المساحة تحت المحور تكون سالبة (مساحة موجهة).
التكامل المحدد هو رقم (مساحة موقعة)، وليس دالة — لا تخلطه مع التكامل غير المحدد (عائلة المشتقات العكسية، درس 6.8). و$\int_a^b f\,dx$ هو مساحة موقعة: انحناء المنحنى تحت المحور يسبب مساهمة سالبة، لذا التكامل ليس نفسه "إجمالي المساحة الهندسية."
عبّر عن المساحة تحت $f(x)=x^2$ على $[0,2]$ كتكامل محدد.
- عرض كل شريط من $n$: $\Delta x=\dfrac{2-0}{n}=\dfrac2n$.
- مجموع الرايمان: $\displaystyle\sum_{i=1}^{n} f(x_i)\,\Delta x$.
- المساحة الدقيقة: $\displaystyle\int_0^2 x^2\,dx=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n} f(x_i)\,\Delta x$ (والتي تساوي $\tfrac83$).
مجموع الرايمان بـ ترميز المجموع هو $\sum_{i=1}^{n} f(x_i)\,\Delta x$ مع $\Delta x=\frac{b-a}{n}$. نهايته عندما $n\to\infty$ هي التكامل المحدد $\int_a^b f(x)\,dx$ — الـ مساحة الموقعة الدقيقة، حيث $a,b$ هي حدود التكامل و$f(x)$ هو التكامل.