استكشاف تراكبات التغير
| English | العربية |
|---|---|
| net change/net tʃeɪndʒ/ | التغير الصافي |
| accumulation/əˌkjuːmjʊˈleɪʃn/ | تجميع |
| area/ˈeərɪə/ | مساحة |
| signed area/saɪnd ˈeərɪə/ | المساحة الموقعة |
جمع التغير للحصول على المجموع الكلي
- قام الاشتقاق بتفكيك الأشياء إلى معدلات. التكامل يجمعها مجددًا في مجاميع كلية.
- إذا عرفت معدل تغير شيء ما، يمكنك إيجاد صافي التغير الذي يتراكم.
- اسلك بسرعة معلومة لفترة → المسافة الكلية هي السرعة المتراكمة عبر الزمن.
- هذا "جمع معدل" هو الفكرة الكبرى الثانية في التفاضل والتكامل: التراكم.
التكامل (التراكم) هو أساساً عكس...
تراكم معدل يلغي اشتقاق مجموع كلي.
التغير الكلي المتراكم من معدل خلال فترة يسمى التغير ____.
التغير الصافي = تراكم موقَع.
المساحة تحت منحنى المعدل = الكمية المتراكمة
- ارسم معدل التغير مقابل الزمن. المساحة تحت ذلك المنحنى هي مجموع التغير التراكمي الكلي.
- معدل ثابت $60\,\tfrac{\text{km}}{\text{h}}$ لمدة $2$ ساعة → مساحة مستطيل $=60\times2=120$ كم.
- معدل متغير يجعل منطقة منحنية، لكن الفكرة نفسها: المساحة = الكمية المتراكمة.
- الارتفاع هو المعدل؛ العرض هو الفتره؛ المساحة هي المجموع.
المساحة تحت معدل هي المجموع الكلي
y = 3 (معدل ثابت)
المساحة المظللة تحت منحنى معدل هي المقدار المتراكم — وسّع الفترة وينمو المجموع الكلي.
صنبور يتدفق بمعدل $3$ لتر/دقيقة لمدة $4$ دقيقة. المساحة تحت منحنى المعدل (الحجم المتراكم) هي...
مساحة المستطيل $=3\times4=12$ لتر.
يرتفع معدل خطياً من $0$ إلى $6$ خلال $4$ دقيقة (مثلث). المقدار المتراكم (المساحة) هو...
مساحة المثلث $=\tfrac12\times4\times6=12$.
المساحة الموقعة: يمكن أن تكون المعدلات سالبة
- عندما يكون المعدل إيجابيًا، تنمو الكمية (تُحسب المساحة كقيمة موجبة).
- عندما يكون المعدل سلبيًا (تحت المحور)، تنكسر الكمية (تُحسب المساحة كقيمة سالبة).
- صافي التغير هو المساحة الموقعة: الأجزاء الموجبة مطروحًا منها الأجزاء السالبة.
- لذلك فإن جسمًا يتحرك للخلف يطرح من الإزاحة المتراكمة.
حيما ينخفض منحنى المعدل تحت المحور، تُطرح تلك المساحة من التغير الصافي المتراكم.
المساحة تحت المحور سالبة (مساحة موقعة).
على منحنى السرعة-الزمن، الجزء أسفل المحور يعني أن الجسم...
سرعة سالبة = حركة خلفية = مساحة موقعة سالبة.
من المعدل إلى الكمية
- إذا كان $f$ معدلًا وتراكم من $a$ إلى $b$، تحصل على صافي التغير للكمية الأصلية.
- هذا بالضبط عكس الاشتقاق — إلغاء المعدل لاستعادة المجموع الكلي.
- الأداة التي تحسب هذه المساحة الموقعة بدقة هي التكامل المحدد (سيأتي لاحقًا).
- الآن: المساحة تحت منحنى المعدل = الكمية التي تراكمت.
التغير التراكمي هو مساحة موقعة، وليس مجرد "مساحة." منحنى السرعة الذي ينخفض تحت المحور يعني أن الجسم تحرك للخلف، مما يطرح من صافي الإزاحة. لا تجمع كل المساحة كقيمة موجبة — المناطق أسفل المحور تُحسب كسالبة.
صنبوب يملأ خزانًا بمعدل $3\,\tfrac{\text{L}}{\text{min}}$ لمدة $4$ دقيقة، ثم $0$ بعد ذلك.
- الرسم البياني للمعدل عبارة عن مستطيل: الارتفاع $3$، العرض $4$.
- الحجم المتراكم = مساحة $=3\times4=12$ لتر.
- لو تحول المعدل لاحقًا إلى سالب (تفريغ)، لطُرحت تلك المساحة من المجموع الكلي.
التراكم يحول المعدل مجددًا إلى مجموع كلي: المساحة الموقعة تحت منحنى معدل التغير خلال $[a,b]$ هي صافي التغير للكمية. معدل موجب → المساحة تُضاف؛ معدل سالب → المساحة تُطرح. التكامل المحدد يجعل هذا دقيقًا.