استكشاف سلوك العلاقات الضمنية
| English | العربية |
|---|---|
| implicit relations/ɪmˈplɪsɪt rɪˈleɪʃnz/ | العلاقات الضمنية |
| implicit differentiation/ɪmˈplɪsɪt ˌdɪfəˌrenʃɪˈeɪʃn/ | الاشتقاق الضمني |
تحليل المنحنيات التي ليست دوالاً
- الدوائر والإهليلجات والعلاقات المخفية الأخرى تفشل اختبار الخط الرأسي — فهي ليست $y=f(x)$.
- يمكنك إيجاد ميل المماس الخاص بها، ورصد المماسات الأفقية والرأسية، وحتى تقعرها.
- يمكنك إيجاد ميل المماس لها، ورسم المماسات الأفقية والرأسية، وحتى تحديد تقعرها.
- تطبيق هذه الدرس لطريقة الوحدة 3 المخفية على أسئلة التحليل في الوحدة 5.
المماسات الأفقية: البسط يساوي صفراً
- من الاشتقاق الضمني تحصل على $\tfrac{dy}{dx}$ ككسر.
- يحدث المماس الأفقي حيث $\tfrac{dy}{dx}=0$ — ضع البسط يساوي صفرًا (مع المقام $\neq0$).
- بالنسبة لـ $x^2+y^2=25$: $\tfrac{dy}{dx}=-\tfrac{x}{y}=0$ عندما $x=0$، أي عند $(0,5)$ و$(0,-5)$ (الأعلى والأسفل).
- هذه هي أعلى وأدنى نقاط المنحنى.
المماسات على الدائرة
y = √(25 − x²) (النصف العلوي)
على $x^2+y^2=25$ يكون للمماس العلوي والسفلي أفقي؛ ولليميني واليساري عمودي.
يحدث مماس أفقي في منحنى ضمني حيث $\tfrac{dy}{dx}$...
مماس أفقي ⇔ ميل $0$ ⇔ بسط $\tfrac{dy}{dx}$ يساوي صفراً.
بالنسبة لـ $x^2+y^2=25$ ($\tfrac{dy}{dx}=-\tfrac{x}{y}$)، حدد جميع النقاط التي لها مماس أفقي.
$\tfrac{dy}{dx}=0$ عندما $x=0$: النقطتان العلوية والسفلية.
المماسات الرأسية: المقام يساوي صفرًا
- يحدث المماس الرأسي حيث $\tfrac{dy}{dx}$ غير معرّف — ضع المقام يساوي صفرًا (مع البسط $\neq0$).
- بالنسبة لـ $x^2+y^2=25$: $-\tfrac{x}{y}$ غير معرّف عندما $y=0$، أي عند $(5,0)$ و$(-5,0)$ (اليسار واليمين).
- يكون خط المماس رأسيًا هناك — ينحني المنحنى عموديًا لأعلى ولأسفل.
- بصل صفري ← أفقي؛ مقام صفر ← رأسي.
يحدث مماس عمودي حيث ____ $\tfrac{dy}{dx}$ يساوي صفراً.
الصفر في المقام ⇒ الميل غير معرف ⇒ مماس عمودي.
جعل المقام في $\tfrac{dy}{dx}$ يساوي صفراً يجد المماسات التي...
الصفر في المقام ⇒ مماس عمودي (الصفر في البسط ⇒ أفقي).
التقعر: المشتقة الثانية الضمنية
- للحصول على التقعر، اشتق $\tfrac{dy}{dx}$ مرة أخرى ضمنيًا لإيجاد $\tfrac{d^2y}{dx^2}$.
- تذكر أن كل $y$ لا يزال يعتمد على $x$، لذا يعيد قاعدة السلسلة الظهور، وتقوم بتعويض $\tfrac{dy}{dx}$ المعروف.
- إشارة $\tfrac{d^2y}{dx^2}$ تعطي التقعر للأعلى/لأسفل عند نقطة، كما كان الحال سابقًا.
- إنه أكثر جبرًا، لكن نفس الأفكار: $f''>0$ للأعلى، $f''<0$ للأسفل.
يجب أن يحقق النقطة المرشحة المعادلة الأصلية (تقع على المنحنى) لتُحسب.
تحقق من أن النقطة تقع فعلاً على المنحنى، ليس فقط شرط الميل.
لعثور على التقعر في منحنى ضمني أنت...
يعطي المشتقة الثانية الضمنية $\tfrac{d^2y}{dx^2}$ التقعر عبر إشارتها.
بالنسبة للمماسات الأفقية ضع بسط $\tfrac{dy}{dx}$ يساوي صفرًا؛ وبالنسبة للمماسات الرأسية ضع المقام يساوي صفرًا — لا تقم بتبديلهما. ولا تُعتبر النقطة مؤهلة إلا إذا كانت تقع فعليًا على المنحنى: تحقق من أنها تحقق المعادلة الأصلية، وليس فقط شرط المشتقة.
أوجد المماسات الأفقية والرأسية لـ $x^2+y^2=25$.
- $2x+2y\tfrac{dy}{dx}=0\Rightarrow\tfrac{dy}{dx}=-\tfrac{x}{y}$.
- أفقي ($\tfrac{dy}{dx}=0$): $x=0\Rightarrow(0,5),(0,-5)$.
- رأسي ($\tfrac{dy}{dx}$ غير معرّف): $y=0\Rightarrow(5,0),(-5,0)$.
حلل العلاقة الضمنية باستخدام الاشتقاق الضمني: $\tfrac{dy}{dx}=0$ (بسط صفري) يعطي مماسات أفقية؛ $\tfrac{dy}{dx}$ غير معرّف (مقام صفري) يعطي مماسات رأسية. اشتق مرة أخرى ضمنيًا بالنسبة لـ $\tfrac{d^2y}{dx^2}$ واقرأ التقعر من إشارته. تأكد دائمًا من أن النقاط تقع على المنحنى.