حل مسائل التحسين
من الإعداد إلى الرقم الفائز
- الخطة: اشتق دالة الهدف، أوجد النقاط الحرجة، وأكد أيهما القيمة العظمى أو الصغرى.
- ثم أجب عن السؤال الفعلي — غالباً ما يكون الأبعاد أو القيمة المثلى، مع الوحدات.
- إنها آلية القيم القصوى لهذه الوحدة، مطبقة على قصة.
- هي آلية تحديد الحد في هذه الوحدة، مطبقة على قصة实际问题.
خطوات الحل
- 1. اشتق دالة الهدف ذات المتغير الواحد وضعها مساوية للصفر لإيجاد النقاط الحرجة.
- 2. تأكد من العظمى مقابل الصغرى باستخدام الاشتقاق الأول أو الاشتقاق الثاني.
- 3. تحقق من النهايات للمجال أيضًا، إذا كان المجال مغلقًا أو محدودًا.
- 4. أجب عن السؤال المطروح — عوض بالمتغير الأمثل مرة أخرى.
للمساحة ذروة واحدة
y = ax² + bx
قطع مكافئ المساحة مفتوح للأسفل وذروة واحدة — المشتقة تساوي صفراً عند الرأس، وهو حد أقصى.
بالنسبة لـ $A(x)=40x-2x^2$، حل $A'(x)=40-4x=0$ لإيجاد النقطة الحرجة $x$.
$40-4x=0\Rightarrow x=10$.
رتب خطوات حل التحسين.
اشتق، أجد، تأكد، أجب.
تأكد، ولا تفترض
- النقطة الحرجة هي مجرد مرشح — يجب أن تثبت أنها العظمى (أو الصغرى) التي تريدها.
- أو تحقق من إشارة $A''(x)<0$ حولها، أو قارنها بأطراف المجال.
- أو تحقق من إشارة $A'$ حولها، أو مقارنتها بنهايات المجال.
- تخطي التأكيد هو خطأ شائع يؤدي لفقدان الدرجات؛ امتحان AP يتطلب تبريرًا.
بما أن $A''(x)=-4<0$، فإن النقطة الحرجة هي...
محدب لأسفل ⇒ حد أقصى.
يجب أن تبرهن أن النقطة الحرجة هي حقاً الحد الأقصى، لا تفترض ذلك فقط.
اختبار المشتقة أو فحص النقاط الطرفية مطلوب.
أجب عن السؤال الفعلي
- يتضمن وحدات وتحقق من أن الإجابة منطقية فيزيائياً.
- أعد قراءة السؤال — "ما الأبعاد؟" و"ما أكبر مساحة؟" يطلبان أرقاماً نهائية مختلفة.
- الرقم بدون التسمية الصحيحة يفقد الدرجة.
- رقم بدون التسمية الصحيحة يفقد الدرجة.
مع $x=10$ و $A(x)=40x-2x^2$، أوجد المساحة العظمى.
$A(10)=400-200=200$.
إذا طلب السؤال الأبعاد، يجب عليك الإبلاغ عن...
أجب عما طُلب — الأبعاد، وليس المساحة، هنا.
خطأان شائعان: (1) الإبلاغ عن القيمة الحرجة لـ $x$ عندما يطلب السؤال الكمية المحسّنة (أو العكس) — أعد قراءة المطلوب. (2) تخطي التبرير بأن نقطة حرجتك هي حقًا العظمى/الصغرى. تحقق دائمًا باختبار المشتقة أو التحقق من النهاية.
تعظيم المساحة $A(x)=40x-2x^2$ (من إعداد السياج)، $0
- $A'(x)=40-4x=0\Rightarrow x=10$.
- $A''(x)=-4<0$ → مقعر للأسفل → حد أقصى ✓.
- ثم $y=40-2(10)=20$، و$A=10\cdot20=200\ \text{m}^2$. الأبعاد $10\times20$، أقصى مساحة $200\ \text{m}^2$.
لـ حل مسألة تحسين: اشتق دالة الهدف ذات المتغير الواحد، واجعلها مساوية للصفر لإيجاد النقاط الحرجة، وأكد وجود قيمة عظمى/صغرى باستخدام اختبار المشتقة (وتحقق من نقاط نهاية المجال)، ثم أجب عن السؤال الدقيق مع الوحدات. لا تُبَلِّغ عن الكمية الخاطئة، Always justify.