استخدام اختبار المشتقة الثانية لتحديد القيم القصوى
| English | العربية |
|---|---|
| Second Derivative Test/ˈsekənd dɪˈrɪvətɪv test/ | اختبار المشتقة الثانية |
| inconclusive/ɪŋkənˈkluːsɪv/ | غير حاسم |
تصنيف القيمة المتطرفة برقم واحد
- اختبار المشتقة الأولى يقرأ تغييرات الإشارات؛ اختبار المشتقة الثانية غالباً ما يكون أسرع.
- عند نقطة حرجة حيث $f'(c)=0$، تحقق فقط من إشارة $f''(c)$.
- تقعر لأعلى عند نقطة مسطحة → وادٍ؛ تقعر لأسفل عند نقطة مسطحة → قمة.
- تقييم واحد لـ $f''$ يمكن أن يحسم الأمر — لا حاجة لمخطط إشارات.
$f''(c) > 0$: حد أدنى
- إذا $f'(c)=0$ و $f''(c)>0$، فإن $f$ لها حد أدنى نسبي عند $c$.
- تقعر لأعلى (كوب) مع مماس أفقي = قاع الوادي.
- الغريزة: الميل صفر ويتزايد، لذا المنحنى يلتف للأعلى.
كأس عند الصغرى، قبعة عند العظمى
y = ax³ + cx
عند الصغرى المحلية تكون المنحنى محدبًا ($f''>0$)؛ وعند العظمى المحلية تكون مقعرة ($f''<0$).
إذا $f'(c)=0$ و$f''(c)>0$، فإن $c$ هي...
محدب عند نقطة مسطحة = صغرى.
$f''(c) < 0$: حد أقصى
- إذا $f'(c)=0$ و $f''(c)<0$، فإن $f$ لها حد أقصى نسبي عند $c$.
- تقعر لأسفل (قبعة) مع مماس أفقي = قمة التل.
- الميل صفر ويتناقص، لذا المنحنى يلتف للأسفل.
إذا $f'(c)=0$ و$f''(c)<0$، فإن $c$ هي قيمة نسبية ____.
مقعر عند نقطة مسطحة = عظمى.
عندما لا تقول شيئاً
- إذا $f''(c)=0$، يكون الاختبار غير حاسم — لا يعطي إجابة.
- النقطة يمكن أن تكون حداً أقصى، أو حداً أدنى، أو لا شيء منهما (مثل $y=x^3$ عند $0$، أو $y=x^4$ عند $0$).
- اعتمد على اختبار المشتقة الأولى (تغير الإشارة $f'$) في هذه الحالة.
- لذا: استخدم اختبار المشتقة الثانية أولاً إذا كان $f''$ سهلاً؛ وانتقل إلى الاختبار الأول إذا $f''(c)=0$.
إذا $f''(c)=0$، فإن اختبار المشتقة الثانية يثبت عدم وجود قيمة قصوى عند $c$.
إنه غير حاسم — استخدم اختبار المشتقة الأولى بدلاً من ذلك.
بالنسبة لـ $f(x)=x^3-3x$ ($f''=6x$)، صنف $x=-1$.
$f''(-1)=-6<0$ → قيمة عظمى نسبية.
يُطبق اختبار المشتقة الثانية عند نقطة حرجة حيث...
إنه يصنف النقاط الحرجة التي يكون فيها المماس أفقيًا، $f'(c)=0$.
متى يجب عليك اللجوء إلى اختبار المشتقة الأولى؟
يعمل الاختبار الأول دائمًا؛ والثاني أسرع غالبًا فقط.
يحتاج اختبار المشتقة الثانية إلى $f'(c)=0$ أولاً — حيث يصنف النقاط الحرجة التي يكون فيها المماس أفقياً. و$f''(c)=0$ هو غير حاسم، وليس "لا شيء": يجب حينها استخدام اختبار المشتقة الأولى. لا تستنتج "عدم وجود قيمة قصوى" فقط بسبب $f''(c)=0$.
صنّف النقاط الحرجة لـ $f(x)=x^3-3x$ باستخدام $f''$.
- $f'(x)=3x^2-3=0$ عند $x=\pm1$؛ $\;f''(x)=6x$.
- عند $x=1$: $f''(1)=6>0$ → قيمة صغرى نسبية.
- عند $x=-1$: $f''(-1)=-6<0$ → قيمة كبرى نسبية.
اختبار المشتقة الثانية: عند نقطة حرجة مع $f'(c)=0$، يعطي $f''(c)>0$ قيمة صغرى نسبية ويعطي $f''(c)<0$ قيمة كبرى نسبية. إذا $f''(c)=0$ يكون الاختبار غير حاسم — فاعتمد على اختبار المشتقة الأولى.