رسم منحنيات الدوال ومشتقاتها
ارسم الشكل الكامل من مشتقاته
- المشتقات هي وصفة للرسم البياني: $f'$ يعطي الانحدارات، و$f''$ يعطي الانحناءات.
- ادمج مخططات الإشارتين الاثنين يمكنك رسم منحنى لم يُقدّم لك أبداً.
- القيم القصوى تأتي من $f'$؛ الانحناء ونقاط الانعطاف تأتي من $f''$.
- هنا تتكامل جميع أجزاء الوحدة 5 في صورة واحدة.
المعلومات التي تجمعها
- من $f'$: فترات التزايد/التناقص والـقيم القصوى (حيث تتغير إشارة $f'$).
- من $f''$: فترات الانحناء والـنقاط العطفية (حيث تتغير إشارة $f''$).
- بالإضافة إلى بعض النقاط المرسومة وأي نقاط التقاطع لتثبيت الارتفاع.
- ضع هذه العناصر فوق بعضها البعض وسيُفرض الشكل.
تحدث قيمة قصوى محلية لـ $f$ عند ____ لـ $f'$ حيث تغير الإشارة.
يُحدد الصفر المتغير للإشارة لـ $f'$ قيمة قصوى لـ $f$.
أي الميزات تنبع من $f''$ (المشتقة الثانية)؟
التقعر + الانعطاف من $f''$؛ التزايد/التناقص + القيم القصوى من $f'$.
رسم $f'$ من $f$، والعكس
- بناءً على رسم بياني لـ $f$: حيث يمتلك $f$ مماساً أفقياً، و$f'=0$ (صفر لـ $f'$).
- حيث يرتفع $f$، تكون $f'$ موجبة؛ حيث ينخفض $f$، تكون $f'$ سالبة.
- حيث يكون $f$ الأمل، تكون $f'$ عند قيمة قصوى؛ وعند عطف لـ $f$، تكون $f'$ لها قيمة كبرى أو صغرى.
- عكس القراءة لرسم $f$ من رسم بياني معطى لـ $f'$.
حيث يكون للمماس الأفقي لرسم $f$، فإن رسم $f'$...
مماس أفقي ⇒ ميل $0$ ⇒ $f'=0$.
حيث تتزايد $f$، تكون مشتقتها $f'$ موجبة.
تتزايد ⇔ $f'>0$.
ضع العلامات على الرسم التخطيطي
- حدد كل قيمة قصوى (ذروة/وادي)، كل نقطة عطفية (انعكاس انحناء)، وسمّ الفترات.
- طابق تزايد+انحناء لأعلى (منحنٍ بشدة للأعلى) مقابل تزايد+انحناء لأسفل (استواء)، وهكذا — أربعة تركيبات.
- تحقق من الاتساق: يجب أن تقع القيمة القصوى المحلية حيث يتحول التزايد إلى تناقص والمنحنى يكون منحنياً لأسفل.
- الرسم النظيف يظهر جميع الميزات الأربع متفقين.
الشكل النهائي
y = ax³ + cx
ذروة عند $(-1,2)$، انعطاف عند $(0,0)$، ووداد عند $(1,-2)$ — بالضبط كما تتنبأ الرسوم البيانية لـ $f'$ و$f''$.
عند نقطة تكون فيها $f$ عالية لكنها مسطحة، تكون قيمة $f'$...
اقرأ الميل، لا الارتفاع: المسطح ⇒ $f'=0$.
يجب أن تحدث قيمة عظمى محلية حيث يتحول $f$ من التزايد إلى التناقص والمنحنى يكون محدبًا...
القمة مقعرة (قبعة).
لا تقرأ $f'$ من الارتفاع لـ $f$ — اقرأه من الميل. حيث $f$ مرتفع لكن مسطح، تكون $f'=0$ صغيرة، وليس "كبيرة". وعادةً صفر لـ $f'$ يشير إلى قيمة قصوى محتملة لـ $f$؛ وصفر لـ $f''$ يشير إلى نقطة عطف محتملة لـ $f$ — حافظ على فصل المستويين بوضوح.
إشارات للرسم التخطيطي لـ $f(x)=x^3-3x$.
- $f'=3(x-1)(x+1)$: تزايد على $(-\infty,-1)$ و$(1,\infty)$، تناقص على $(-1,1)$؛ قيمة كبرى عند $(-1,2)$، وصغرى عند $(1,-2)$.
- $f''=6x$: انحناء لأسفل لـ $x<0$، انحناء لأعلى لـ $x>0$؛ نقطة عطف عند $(0,0)$.
- الرسم التخطيطي: يرتفع إلى ذروة عند $(-1,2)$، وينخفض عبر $(0,0)$، ويهبط إلى $(1,-2)$، ثم يرتفع.
لـرسم رسم بياني، ادمج ما يقوله $f'$ (تزايد/تناقص والقيم القصوى) مع ما يقوله $f''$ (الانحناء ونقاط العطف)، بالإضافة إلى بعض النقاط المرجعية. اقرأ $f'$ من الميل لـ $f$ (وليس ارتفاعه)؛ صفر لـ $f'$ هو قيمة قصوى محتملة، وصفر لـ $f''$ هو نقطة عطف محتملة.