تحديد تقعر الدوال على مجالاتها
| English | العربية |
|---|---|
| concavity/kənˈkævɪti/ | التقعر |
| sign of the second derivative/saɪn ɒvðə ˈsekənd dɪˈrɪvətɪv/ | إشارة المشتقة الثانية |
| concave up/kɒnˈkeɪv ʌp/ | محدب للأعلى |
| concave down/kɒnˈkeɪv daʊn/ | محدب لأسفل |
| point of inflection/pɔɪnt ɒv ɪnˈflekʃn/ | نقطة انعطاف |
انحناء المنحنى
- الزيادة/النقصان يخبرك باتجاه حركة المنحنى؛ التقعر يخبرك كيف ينحني.
- يمكن للمنحنى أن يرتفع بينما ينحني مثل الكوب (مفتوح للأعلى) أو مثل القبعة (مفتوح للأسفل).
- الانحناء يتحكم به إشارة المشتقة الثانية.
- $f''$ تقيس كيف تتغير الميل $f'$ بحد ذاته.
مقعر لأعلى: $f'' > 0$
- حيث $f''(x)>0$، يكون الرسم البياني مقعراً للأعلى — شكله كابتسامة، يحفظ الماء.
- الميل $f'$ يتزايد (يصبح أكثر إيجابية أو أقل سلبية).
- الوديان ذات الشكل الكوبي هي مقعرة للأعلى.
- خطوط المماس تقع تحت المنحنى المقعر للأعلى.
الرسم البياني يكون محدبًا تمامًا حيث...
محدب ⇔ $f''>0$ (الميل يتزايد).
المحدب يعني أن الميل $f'$ هو...
محدب ⇔ $f'$ تتزايد ⇔ $f''>0$.
مقعر للأسفل: $f'' < 0$
- حيث $f''(x)<0$، يكون الرسم البياني مقعراً للأسفل — شكله كابتهاية.
- الميل $f'$ يتناقص.
- التلال ذات الشكل القبعي هي مقعرة للأسفل.
- خطوط المماس تقع فوق المنحنى المقعر للأسفل.
حيث $f''(x)<0$، الرسم البياني يكون مقعرًا ____ (شكل قبعة).
المشتقة الثانية سالبة → مقعر.
نقاط الانعطاف: حيث ينعكس الانحناء
- نقطة الانعطاف هي حيث يتغير التقعر — من الأعلى إلى الأسفل أو العكس.
- هناك، $f''$ تغير إشارتها (عادةً مروراً عبر $0$، وأحياناً تكون غير معرفة).
- بنِ مخططاً للإشارات لـ $f''$، تماماً كما فعلت مع $f'$، لإيجاد هذه النقاط.
- نقطة الانعطاف تتعلق بتغيير الانحناء، وليس الميل.
مقعر ثم محدب
y = x³
ينحني هذا التكعيبي كقبعة لـ $x<0$ وككأس لـ $x>0$ — والانعطاف عند $0$ هو نقطة انعطاف.
تتطلب نقطة الانعطاف أن يغير $f''$ إشارتها، وليس فقط أن يساوي صفرًا.
$y=x^4$ له $f''(0)=0$ لكن بدون تغيير إشارة → ليست نقطة انعطاف.
بالنسبة لـ $f(x)=x^3$، $f''(x)=6x$. عند أي $x$ يقع نقطة الانعطاف؟
$f''=6x$ تغير إشارتها عند $x=0$.
بالنسبة لـ $y=x^4$، هل $x=0$ نقطة انعطاف؟
$f''=12x^2\ge0$ على كلا الجانبين — بدون تغيير إشارة، لذا لا يوجد انعطاف.
$f''(c)=0$ وحدها لا تجعل $c$ نقطة انعطاف — $f''$ يجب أن تغير إشارتها فعلاً هناك. بالنسبة لـ $y=x^4$، $f''(0)=0$، لكن $f''\ge0$ على كلا الجانبين (بدون تغيير إشارة)، لذا فإن $x=0$ ليست نقطة انعطاف. تحقق من الإشارة على كلا الجانبين، لا تحل $f''=0$ فقط.
أوجد تقعر ونقطة انعطاف لـ $f(x)=x^3$.
- $f'(x)=3x^2$, $f''(x)=6x$.
- $f''<0$ لـ $x<0$ (مقعر لأسفل)؛ $f''>0$ لـ $x>0$ (مقعر لأعلى).
- $f''$ تغير إشارتها عند $x=0$ → نقطة انعطاف عند $(0,0)$.
التقعر محدد بواسطة إشارة $f''$: $f''>0$ → مقعر لأعلى (كوب)، $f''<0$ → مقعر لأسفل (قبعة). نقطة الانعطاف هي حيث $f''$ تغير إشارتها — ينعكس الانحناء. $f''=0$ هي مرشح، لكن يجب عليك تأكيد تغيير الإشارة.