استخدام اختبار المرشحين لتحديد الحدود المطلقة (العالمية)
| English | العربية |
|---|---|
| Candidates Test/ˈkændɪdeɪts test/ | اختبار المرشحين |
إيجاد أعلى وأدنى قيم حقيقية
- على فترة مغلقة، يضمن مبدأ القيمة القصوى (EVT) وجود قيمة قصوى صغرى مطلقة. أين تقعان؟
- يمكن أن تكونا فقط عند نقطة حرجة أو عند طرفي الفترة — قائمة قصيرة من المترشحين.
- اختبار المترشحين يقوم بتقييم $f$ عند كل مترشح ومقارنة النتائج.
- لا حاجة لمخططات الإشارة — أكبر ناتج هو الفائز، وأصغر ناتج يخسر.
الثلاث خطوات
- 1. أوجد جميع النقاط الحرجة في $[a,b]$ (حيث $f'=0$ يساوي صفراً أو يكون غير معرّف).
- 2. قم بتقييم $f$ عند كل نقطة حرجة و عند كلا طرفي الفترة $a$ و$b$.
- 3. قارن القيم: الأكبر هو الحد الأقصى المطلق، والأصغر هو الحد الأدنى المطلق.
- أبلغ عن القيمة ومكانها معاً.
الأطراف والنقاط الحرجة
y = ax³ + cx
يخفي الحد المطلق الأعظم/الأدنى في فترة مغلقة بين الأطراف والنقاط الحرجة الداخلية — قم بالتقييم والمقارنة.
لإيجاد الحدود المطلقة على $[a,b]$، قيّم $f$ عند أيّ نقاط؟
النقاط الحرجة بالإضافة إلى كلا الطرفين — هذه هي القائمة الكاملة للمرشحين.
لا تنسَ طرفي الفترة
- على فترة مغلقة، غالباً ما توجد القيم المتطرفة عند طرفي الفترة، وليس عند نقطة حرجة.
- الدالة رتيبة (متزايدة دائماً) يكون لها الحد الأقصى في النهاية اليمنى والحد الأدنى في البداية اليسرى.
- لذا يجب عليك دائماً تضمين $f(a)$ و$f(b)$ في قائمتك بالمرشحين.
- نسيان أحد طرفي الفترة هو الطريقة الأكثر شيوعاً للحصول على قيمة متطرفة مطلقة خاطئة.
بالنسبة لـ $f(x)=x^3-3x$ على $[0,2]$، مع $f(0)=0$، $f(1)=-2$، $f(2)=2$، ما هي القيمة العظمى المطلقة؟
أكبر قيمة مرشح هي $2$ (عند النهاية $x=2$).
نفس الدالة والمرشحين: ما هي القيمة الصغرى المطلقة؟
أصغر قيمة مرشح هي $-2$ (عند $x=1$).
يمكنك تخطي النهايات ولا تزال متأكدًا من القيم القصوى المطلقة.
تقع القيم القصوى غالبًا عند النهايات؛ وتخطيها قد يعطي إجابة خاطئة.
قارن، ولا تصنف
- على عكس اختبار المشتقة الأولى، لا يهم اختبار المترشحين ما نوع كل نقطة.
- يسأل ببساطة: من بين جميع نواتج المترشحين، أيها الأكبر وأيها الأصغر؟
- تقييم واحد لكل مترشح، ثم مقارنة — عملية نظيفة وموثوقة على فترة مغلقة.
- (يتطلب الأمر فترة مغلقة؛ على فترة مفتوحة قد لا توجد قيمة متطرفة مطلقة.)
يتطلب اختبار المرشحين فترة ____ مغلقة، حيث يضمن وجود القيم القصوى EVT.
على فترة مفتوحة، قد لا توجد قيمة قصوى مطلقة.
العظمى المطلقة هي المرشح ذو...
قارن المخرجات $f(x)$، وليس المدخلات.
يتطلب اختبار المرشحين وجود فترة مغلقة $[a,b]$ ويجب أن تشمل النقاط الطرفية. تقييم النقاط الحرجة فقط يفوّت القيم القصوى التي تقع عند $a$ أو $b$. وقارن القيم لـ $f$-، وليس $x$-؛ الفائز هو أكبر قيمة مُخرَجة، أينما حدثت.
أوجد القيم المتطرفة المطلقة لـ $f(x)=x^3-3x$ على $[0,2]$.
- النقاط الحرجة في $[0,2]$: $f'=3(x-1)(x+1)=0$ عند $x=1$ (فقط $x=1$ يقع ضمن النطاق).
- قيّم المرشحين: $f(0)=0$، $f(1)=-2$، $f(2)=2$.
- الحد الأقصى المطلق $=2$ عند $x=2$ (طرفي الفترة)؛ الحد الأدنى المطلق $=-2$ عند $x=1$.
يجعل اختبار المترشحين إيجاد القيم المتطرفة المطلقة على فترة مغلقة: اذكر النقاط الحرجة وكلا طرفي الفترة، وقيّم $f$ عند كل منها، وقارن النتائج. أكبر قيمة = حد أقصى مطلق، أصغر = حد أدنى مطلق. always تضمين طرفي الفترة، وقارن النواتج، لا المدخلات.