استخدام اختبار المشتقة الأولى لتحديد الحدود النسبية (المحلية)
| English | العربية |
|---|---|
| First Derivative Test/fɜːst dɪˈrɪvətɪv test/ | اختبار المشتقة الأولى |
| relative (local) maximum/ˈrelətɪv ˈmæksɪməm/ | القيمة العظمى المحلية (النسبية) |
| relative (local) minimum/ˈrelətɪv ˈmɪnɪməm/ | القيمة الصغرى المحلية (النسبية) |
تصنيف النقطة الحرجة حسب كيفية دوران $f'$
- النقطة الحرجة هي مرشح للقيمة القصوى — الآن نقرر أي نوع هي.
- اختبار المشتقة الأولى يقرأ تغير الإشارة لـ $f'$ عبر النقطة.
- صعود ثم هبوط يصنع ذروة؛ هبوط ثم صعود يصنع قاعاً.
- يعيد استخدام جدول الإشارات الخاص بك من الدرس السابق — لا حساب جديد.
موجب → سالب يعني قيمة عظمى
- إذا تغير $f'$ من موجب إلى سالب عند نقطة حرجة $c$، فإن $f$ لها قيمة عظمى نسبية (محلية) هناك.
- كانت الدالة تصعد، تسوى، ثم تهبط — قمة تل.
- اقرأها مباشرة من جدول الإشارات: $+$ يسار $c$، و $-$ يمينها.
- القيمة العظمى هي $f(c)$؛ الموقع هو $x=c$.
حد أقصى ثم حد أدنى
y = ax³ + cx
الحدبة اليسرى هي حد أقصى محلي (يذهب $f'$ من $+$ إلى $-$) والمنخفض الأيمن هو حد أدنى محلي (من $-$ إلى $+$).
إذا تغير $f'$ من موجب إلى سالب عند $c$، فإن $f$ يكون لديه...
صاعد ثم نازل = قمة التلة = حد أقصى محلي.
سالب → موجب يعني قيمة صغرى
- إذا تغير $f'$ من سالب إلى موجب عند $c$، فإن $f$ لها قيمة صغرى نسبية (محلية) هناك.
- تنزل، تسوى، ثم تصعد — قاع وادي.
- جدول الإشارات: $-$ يسار $c$، و $+$ يمين $c$.
- إذا لم يتغير $f'$ إشارة عند $c$، فلا توجد قيمة قصوى هناك (بقعة مسطحة).
إذا تغير $f'$ من سالب إلى موجب عند $c$، فإن $f$ يكون لديه حد ____ محلي هناك.
نازل ثم صاعد = قاع الوادي = حد أدنى محلي.
الروتين
- أوجد النقاط الحرجة، وبنِ جدول إشارات $f'$، واستخرج كل عبور.
- $+\to-$: قيمة عظمى محلية. $-\to+$: قيمة صغرى محلية. لا تغيير: لا شيء منهما.
- يعمل حتى حيث $f'$ غير معرفة (زاوية)، طالما تتغير الإشارة.
- هذا هو الأكثر استخداماً في امتحانات AP لتصنيف القيم القصوى.
إذا كان لـ $f'$ نفس الإشارة على جانبي نقطة حرجة، فلا يوجد حد هناك.
عدم وجود تغيير في الإشارة (مثل $y=x^3$ عند $0$) يعني عدم وجود حد أقصى أو أدنى.
بالنسبة لـ $f(x)=x^3-3x$، النقطة الحرجة $x=1$ هي...
$f'$ تذهب نحو $-\to+$ عند $x=1$ → حد أدنى محلي.
بالنسبة لـ $f(x)=x^3-3x$، الحد الأقصى المحلي هو عند $x=-1$. أوجد قيمة الحد الأقصى $f(-1)$.
$f(-1)=(-1)^3-3(-1)=-1+3=2$.
حدد جميع العبارات الصحيحة حول اختبار المشتقة الأولى.
ما يهم هو تغيير الإشارة، وليس القيمة عند $c$.
المهم هو التغير في الإشارة، وليس قيمة $f'$ عند $c$ (والتي تكون $0$ أو غير معرّفة هناك). إذا حافظ $f'$ على نفس الإشارة من كلا الجانبين — كما يحدث مع $y=x^3$ عند $0$ (موجبة من كلا الجانبين) — فلا يوجد نقطة صغرى/عظمى، حتى لو كانت نقطة حرجة.
صنف النقاط الحرجة لـ $f(x)=x^3-3x$ ($f'=3(x-1)(x+1)$).
- عند $x=-1$: $f'$ ينتقل $+\to-$ (اختبار $-2$ يعطي $+$، اختبار $0$ يعطي $-$) → قيمة عظمى محلية.
- عند $x=1$: $f'$ ينتقل $-\to+$ (اختبار $0$ يعطي $-$، اختبار $2$ يعطي $+$) → قيمة صغرى محلية.
- القيم: قيمة عظمى محلية $f(-1)=2$، قيمة صغرى محلية $f(1)=-2$.
اختبار المشتقة الأولى يصنف النقطة الحرجة بناءً على تغير الإشارة لـ $f'$: $+\to-$ هي قيمة عظمى محلية، $-\to+$ هي قيمة صغرى محلية، ولا تغيير في الإشارة يعني لا قيمة قصوى. فقط اقرأ العبور من جدول إشارات $f'$ الخاص بك.