تحديد الفترات التي تكون فيها الدالة متزايدة أو متناقصة
| English | العربية |
|---|---|
| sign of the first derivative/saɪn ɒvðə fɜːst dɪˈrɪvətɪv/ | إشارة المشتقة الأولى |
| sign chart/saɪn tʃɑːt/ | مخطط الإشارة |
إشارة $f'$ تروي القصة
- أين يرتفع المنحنى أو ينخفض يُكتب في إشارة المشتقة الأولى.
- $f'(x)>0$ على فترة → $f$ تزايدية هناك (تصعد صعوداً).
- $f'(x)<0$ → $f$ تناقصية (تنزلق هبوطاً).
- لذلك لرسم خريطة حيث تتصاعد $f$ وتنخفض، عليك فقط تتبع إشارة $f'$.
صاعد حيث f′ > 0
y = ax³ + cx
يرتفع المنحنى حيث يكون ميله موجبًا وينخفض حيث يكون سالبًا — إشارة $f'$ تحدد كل جزء.
الدالة متزايدة في فترة ما إذا وفقط إذا...
المشتقة الأولى الموجبة تعني التزايد.
بناء جدول الإشارات
- ابدأ بإيجاد النقاط الحرجة (حيث $f'=0$ أو غير معرفة) — هذه تقسم خط الأعداد.
- ارسم جدول إشارات: حدد النقاط الحرجة، مما يخلق فترات مفتوحة بينها.
- اختر نقطة اختبار في كل فترة وتحقق من إشارة $f'$ هناك.
- إحداهما لكل فترة كافية — $f'$ لا يمكن أن تغير إشارتها دون المرور بنقطة حرجة.
بالنسبة لـ $f'(x)=3(x-1)(x+1)$، قيّم $f'(0)$ لاختبار الفترة الوسطى.
$3(-1)(1)=-3<0$، لذا $f$ متناقصة على $(-1,1)$.
تقسم النقاط الحرجة خط الأعداد إلى فترات لمخطط ____ لـ $f'$.
يتتبع مخطط الإشارة أين يكون $f'$ موجبًا أو سالبًا.
استخرج الفترات
- كل فترة يكون فيها $f'>0$ فتره تزايد؛ وكل فترة يكون فيها $f'<0$ فتره تناقص.
- اكتبها بـ رمز الفترات: مثلاً تزايدية على $(-\infty,-1)\cup(1,\infty)$.
- استخدم مجال الدالة كحدود خارجية.
- (هل تضمين نقطة حرجة هو تفصيل في约定؛ عادةً ما يقبل AP الفترات المفتوحة.)
بالنسبة لـ $f(x)=x^3-3x$ (النقاط الحرجة $\pm1$)، حدد جميع فترات التزايد.
$f'>0$ خارج $[-1,1]$؛ وتتناقص فيما بينها.
لماذا تعمل
- بين نقطتين حرجتين متتاليتين، يحافظ $f'$ على إشارة واحدة — لا تبديل لإشارة بدون صفار أو انقطاع.
- لذا قيمة اختبار واحدة تحسم الأمر للكل فترة.
- هذه المعلومات عن الإشارة هي أساس اختبار المشتقة الأولى (الدرس القادم).
- سلوك التزايد/التناقص هو بالضبط ما تشفره دالة المعدل.
يمكن للدالة السالبة (تحت محور $x$) أن تتزايد.
التزايد يعتمد على $f'>0$، وليس على إشارة $f$.
يكفي نقطة اختبار واحدة لتحديد فترة كاملة لأن $f'$ لا يمكن أن يغير إشارته بدون...
يتطلب تغيير الإشارة صفرًا أو نقطة عدم تعريف لـ $f'$.
تتبع إشارة $f'$، ليس إشارة $f$. يمكن للدالة أن تكون سالبة ومع ذلك تزايدية (مثلاً ترتفع من $-5$ نحو $-1$). "تزايد" يعني أن المخرجات تصبح أكبر ($f'>0$)، بغض النظر عما إذا كان $f$ نفسه فوق أم تحت محور $x$.
أين تكون $f(x)=x^3-3x$ تزايدية؟
- $f'(x)=3(x-1)(x+1)$؛ النقاط الحرجة $x=-1,1$.
- اختبر $x=-2$: $f'>0$. اختبر $x=0$: $f'=-3<0$. اختبر $x=2$: $f'>0$.
- تزايدية على $(-\infty,-1)$ و $(1,\infty)$؛ تناقصية على $(-1,1)$.
يحدد إشارة $f'$ سلوك التباين: $f'>0$ → تصاعد، $f'<0$ → تناقص. قسّم خط الأعداد عند النقاط الحرجة، وبني جدول إشارات بنقطة اختبار واحدة لكل فترة، ثم استنتج فترات التزايد والتناقص. تابع إشارة $f'$، وليس إشارة $f$.