نظرية القيمة القصوى، القصوى العالمية مقابل المحلية، والنقاط الحرجة
| English | العربية |
|---|---|
| local (relative) extremum/ˈləʊkl ekˈstreməm/ | القيمة القصوى/ الدنيا المحلية (النسبية) |
| global (absolute) extremum/ˈɡləʊbl ekˈstreməm/ | القيمة القصوى/ الدنيا العالمية (المطلقة) |
| critical points/ˈkrɪtɪkl pɔɪnts/ | النقاط الحرجة |
| Extreme Value Theorem/ekˈstriːm ˈvæljuː ˈθɪərəm/ | مبرهنة القيمة القصوى |
قمم، وديان، وأين تبحث عنها
- الرسم السلس يحتوي على نقاط عالية ومنخفضة — المشتقة هي الأداة لإيجادها.
- أولاً، بعض المفردات: القيمة القصوى المحلية (النسبية) هي قمة أو وادٍ مقارنة بالنقاط القريبة منها.
- القيمة القصوى العالمية (المطلقة) هي الأعلى أو الأدنى فردياً على الكل فترة.
- المرشحين لكلا النوعين هم مدخلات خاصة تسمى النقاط الحرجة.
"الحد الأقصى المحلي (النسبي)" هو نقطة تكون الأعلى مقارنة بـ...
محلي = مقارنة بالنقاط المجاورة؛ عالمي = على طول الفترة بأكملها.
مبرهنة القيمة القصوى
- مبرهنة القيمة القصوى (EVT) تضمن وجود القيم القصوى — بشرط واحد.
- إذا كان $f$ متصلاً على فترة مغلقة $[a,b]$، فإن $f$ تأخذ قيمة قصوى مطلقة و قيمة صغرى مطلقة على $[a,b]$.
- الاستمرار + الفترة المغلقة هو تذكرة الدخول؛ إسقاط أحدهما قد يعني عدم وجود حد أقصى أو حد أدنى.
- تخبرك EVT بأنها موجودة؛ المشتقة تساعدك على إيجادها.
تضمن النظرية القصوى وجود حد أقصى وأدنى عندما يكون $f$ متصلاً في فترة ____.
الاتصال بالإضافة إلى فترة مغلقة مطلوب.
النقاط الحرجة: حيث يمكن أن تختبئ القيم القصوى
- النقطة الحرجة هي نقطة داخلية $x$ حيث $f'(x)=0$ أو $f'(x)$ غير موجودة.
- $f'=0$: مماس أفقي (قمة أو وادٍ ناعم). $f'$ غير معرفة: زاوية حادة أو نقطة ذنوبية.
- يمكن أن تحدث القيم القصوى المحلية فقط عند النقاط الحرجة — في أي مكان آخر داخل الفترة.
- لذا للبحث عن القيم القصوى، حل $f'(x)=0$ أولاً ولاحظ أين $f'$ غير معرفة.
حيث يكون الميل صفرًا
y = ax³ + cx
عند القمة المحلية أو القاع المحلي، يكون المماس أفقيًا ($f'=0$) — مدخلات تلك النقاط هي النقاط الحرجة.
النقطة الحرجة هي نقطة داخلية $x$ حيث...
النقاط الحرجة: $f'=0$ أو $f'$ غير معرفة.
المحلي مقابل العالمي — لا تخلط بينهما
- الحد الأقصى المحلي أطول من جيرانه المباشرين؛ الحد الأقصى العالمي هو الأطول في أي مكان على $[a,b]$.
- القيمة القصوى العالمية على فترة مغلقة تقع إما عند نقطة حرجة أو طرف.
- ليست كل نقطة حرجة قيمة قصوى (المماس الأفقي يمكن أن يكون منطقة مسطحة على منحنٍ صاعد).
- المحلي وال globally مختلفان — يمكن لنقطة أن تكون واحدة دون أن تكون الأخرى.
جد جميع النقاط الحرجة لـ $f(x)=x^3-3x$.
$f'(x)=3(x-1)(x+1)=0$ عند $x=\pm1$.
كل نقطة يكون فيها $f'(x)=0$ حدًا محليًا أعظميًا أو أدنى.
$y=x^3$ عند $0$ له $f'=0$ ولكن لا يوجد حد — النقطة الحرجة هي مجرد مرشح فقط.
في فترة مغلقة، يجب أن يحدث الحد المطلق عند نقطة حرجة أو عند...
تحقق من النقاط الحرجة و الطرفين.
$f'(c)=0$ لا يضمن وجود قيمة قصوى عند $c$. المنحنى $y=x^3$ له $f'(0)=0$، لكن $x=0$ ليست neither max nor min — بل هي فقط نقطة انعطاف مسطحة. النقطة الحرجة هي مجرد مرشح؛ يجب اختبارها (الدروس 5.4، 5.7). وتحتاج EVT إلى اتصال وفترة مغلقة معاً.
أوجد النقاط الحرجة لـ $f(x)=x^3-3x$.
- $f'(x)=3x^2-3=3(x^2-1)=3(x-1)(x+1)$.
- ضع $f'(x)=0$: $x=1$ و$x=-1$ — كلاهما يعطي مماساً أفقياً.
- $f'$ معرفة في كل مكان (كثير حدود)، لذا فهذه النقطتان هما النقطتان الحرجتان الوحيدتان.
نظرية القيمة القصوى: الدالة المستمرة على فترة مغلقة تأخذ قيمة قصوى مطلقة وقيمة صغرى مطلقة. هذه القيم، وكل القيم القصوى المحلية، تحدث فقط عند النقاط الحرجة (حيث $f'=0$ أو غير معرفة) أو نهايات الفترة. النقطة الحرجة هي مرشح، وليست ضماناً — اختبرها دائماً.