باستخدام نظرية القيمة المتوسطة
| English | العربية |
|---|---|
| Mean Value Theorem/miːn ˈvæljuː ˈθɪərəm/ | مبرهنة القيمة المتوسطة |
في مكان ما، يتطابق اللحظة مع المتوسط
- اسلك $120$ كم في $2$ ساعات: سرعة متوسطة لك هي $60\,\tfrac{\text{km}}{\text{h}}$.
- عند لحظة معينة يجب أن يشير عداد السرعة الخاص بك إلى $60$ بالضبط — لا يمكنك حساب متوسط $60$ دون الوصول إليه.
- هذه الحقيقة الغريزية هي مبرهنة القيمة المتوسطة (MVT).
- تربط بين معدل التغير المتوسط على فترة زمنية وبين معدل لحظي في مكان ما بالداخل.
الفرضيات تأتي أولاً
- MVT تحتاج $f$ متصلة على $[a,b]$ و قابلة للاشتقاق على $(a,b)$.
- إذا تحققت كلاهما، يوجد على الأقل نقطة $c$ في $(a,b)$ مع
-
$$f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$$
- الجانب الأيسر هو معدل لحظي؛ الجانب الأيمن هو المعدل المتوسط على $[a,b]$.
تتطلب نظرية القيمة المتوسطة على $[a,b]$ أيّ فرضيات؟
اتصال في الفترة المغلقة وقابلية للاشتقاق في الفترة المفتوحة. (يُعد $f(a)=f(b)$ الشرط الإضافي لنظرية رول).
تضمن نظرية القيمة المتوسطة وجود $c$ حيث $f'(c)$ يساوي...
$f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$، وهو المعدل المتوسط.
مماس موازٍ للقاطع
- الجانب الأيمن هو ميل الخط القاطع الذي يصل بين طرفي المنحنى.
- إذن MVT تضمن وجود نقطة يكون فيها الخط المماس موازياً لذلك القاطع.
- هندسياً: في مكان ما يساوي ميل المنحنى الميل الكلي المتوسط.
- مثل IVT، فهي مبرهنة وجود — فهي تعد بوجود $c$، وليس قيمتها.
المماس الموازي للقاطع
y = x²
في مكان ما داخل الفترة، يتطابق ميل المماس مع الميل المتوسط (الميل القاطعي) — تلك النقطة هي $c$ المضمونة لنظرية القيمة المتوسطة.
هندسيًا، تضمن نظرية القيمة المتوسطة وجود خط مماس موازٍ للخط ____.
المماس عند $c$ موازٍ للقاطع الذي يربط بين طرفي الفترة.
إيجاد $c$ المضمون
- لإيجاد $c$: ضع $f'(c)$ مساوية للمعدل المتوسط وحل من أجل $c$ في $(a,b)$.
- تحقق أولاً من الفرضيات (متصلة + قابلة للاشتقاق) — وتجاهل ذلك لن تنطبق المبرهنة.
- استبعد أي حل يقع خارج الفترة المفتوحة $(a,b)$.
- MVT هي المحرك وراء نتائج لاحقة عديدة (مثل "إذا كان $f'=0$ في كل مكان، فإن $f$ ثابت").
من أجل $f(x)=x^2$ على $[2,6]$، أوجد $c$ المضمون بواسطة MVT.
متوسط $=\frac{36-4}{4}=8$؛ $2c=8\Rightarrow c=4\in(2,6)$.
إذا كان $f$ يحتوي على زاوية حادة داخل $(a,b)$، فإن نظرية القيمة المتوسطة مضمونة التطبيق.
الكسر الحاد يكسر قابلية الاشتقاق، لذا تفشل الفرضيات وقد لا تنطبق نظرية القيمة المتوسطة.
مثل نظرية القيم الوسيطية (IVT)، نظرية القيمة المتوسطة هي نوع من النظريات?
إنها تضمن وجود مثل هذا $c$ (على الرغم من أنه يمكنك غالبًا إيجاده هنا).
كلا الفرضيتين مطلوبان. إذا كان $f$ يحتوي على زاوية حادة (غير قابل للاشتقاق) أو انقطاع (غير متصل) على الفترة، قد تفشل MVT — قد لا توجد مثل هذه $c$. تحقق دائماً من أن $f$ متصلة على $[a,b]$ و قابلة للاشتقاق على $(a,b)$ قبل تطبيقها.
من أجل $f(x)=x^2$ على $[1,3]$، أوجد $c$ المضمون بواسطة MVT.
- المعدل المتوسط: $\dfrac{f(3)-f(1)}{3-1}=\dfrac{9-1}{2}=4$.
- $f'(x)=2x$، لذا ضع $2c=4\Rightarrow c=2$.
- $c=2$ تقع في $(1,3)$ ✓ — هناك ميل المماس يساوي الميل المتوسط $4$.
مبرهنة القيمة المتوسطة: إذا كان $f$ متصلاً على $[a,b]$ وقابلاً للاشتقاق على $(a,b)$، فإن بعض $c\in(a,b)$ يحقق $f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ — معدل لحظي يساوي المعدل المتوسط، أي مماس موازٍ للقاطع. تحقق من الفرضيات، ثم حل $f'(c)=$ متوسط بالنسبة لـ $c$.