استخدام قاعدة لوبيتال لتحديد حدود الأشكال غير المحددة
| English | العربية |
|---|---|
| L'Hospital's Rule/ˈelhɒspɪtlz ruːl/ | قاعدة لوبيتال |
| indeterminate forms/ˌɪndɪˈtɜːmɪnət fɔːmz/ | الصيغ غير المحددة |
حيل المشتقة للنهايات العنيدة
- في الوحدة 1، $\tfrac00$ تعني "تبسيط جبرياً". أحياناً لا يساعد الجبر.
- قاعدة لوبيتال تستخدم المشتقات لكسر تلك النهايات العنيدة.
- تطبق على الصيغ غير المحددة $\tfrac00$ و$\tfrac{\infty}{\infty}$.
- الفكرة: استبدال نسبة الدوال بنسبة مشتقاتها.
تحقق من الصيغة أولاً
- قاعدة لوبيتال تطبق فقط على صيغة غير محددة حقيقية: $\dfrac00$ أو $\dfrac{\infty}{\infty}$.
- عوض أولاً للتأكد من أنك تحصل على حالة عدم تعيين — إذا أعطى التعويض المباشر رقماً بالفعل، فأنت منتهٍ، ولا تنطبق القاعدة بشكل.
- تطبيقها على نهاية غير محدد (مثل $\tfrac{5}{2}$) يعطي إجابة خاطئة.
- لذا تحقق دائماً من الشكل قبل اللجوء للقاعدة.
تُطبق قاعدة لوبيتال على أيّ الأشكال غير المحددة ؟
فقط $\tfrac00$ و$\tfrac\infty\infty$. الشكل $\tfrac52$ محدد مسبقًا؛ والشكل $\tfrac30$ هو تقارب، وليس شكلًا غير محدد.
قبل تطبيق القاعدة، تأكد من أن النهاية تمثل شكلاً ____ عن طريق التعويض.
فقط $\tfrac00$ أو $\tfrac\infty\infty$ مؤهلان.
اشتق البسط والمقام بشكل منفصل
- القاعدة: $$\lim_{x\to c}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to c}\frac{f'(x)}{g'(x)}$$(عندما يكون الشكل غير محدد).
- تحذير: هذه ليست قاعدة القسمة — أنت تشتق $f$ و $g$ بشكل مستقل، بدون طرح، وبدون $g^2$.
- ثم أعد تقييم النهاية الجديدة المبسطة.
- $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=\lim_{x\to0}\frac{\cos x}{1}=1$ — النهاية الشهيرة، في سطر واحد.
نسبة 0/0 لها حد حقيقي
y = sin(x)/x (قريبًا من 0)
$\tfrac{\sin x}{x}$ يبدو كـ $\tfrac00$ عند $0$ لكن المنحنى يتجه بسلاسة نحو $1$ — قاعدة لوبيتال تجد هذه القيمة بسرعة.
تستخدم قاعدة لوبيتال قاعدة القسمة $\dfrac{f'g-fg'}{g^2}$ على البسط والمقام.
إنها تُشتق $f$ و$g$ بشكل منفصل: $\tfrac{f'}{g'}$، وليس قاعدة القسمة.
قيّم $\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{e^x-1}{x}$ باستخدام القاعدة.
$\tfrac00\Rightarrow\lim\tfrac{e^x}{1}=e^0=1$.
بحسب قاعدة لوبيتال، فإن $\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{\sin x}{x}=\lim_{x\to0}\dfrac{\cos x}{1}=$ يساوي
$\cos 0=1$.
كرر إذا بقيت غير محددة
- إذا كانت النسبة الجديدة $\tfrac{f'}{g'}$ هي أيضاً $\tfrac00$ أو $\tfrac\infty\infty$، طبق القاعدة مرة أخرى.
- استمر في اشتقاق البسط والمقام حتى تحصل على قيمة محددة.
- $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{2x}=\lim_{x\to0}\frac{\cos x}{2}=\tfrac12$ (بتطبيقين).
- يجب أن تظل كل جولة غير محددة لتبرير تطبيق آخر.
بتطبيق القاعدة مرتين، فإن $\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{1-\cos x}{x^2}=$ يساوي ؟ (رقم عشري)
$\to\tfrac{\sin x}{2x}\to\tfrac{\cos x}{2}=\tfrac12$.
$\dfrac{f'}{g'}$ ليست قاعدة القسمة. L'Hospital يشتق البسط والمقام بشكل منفصل: $\frac{d}{dx}[f]$ مقسوماً على $\frac{d}{dx}[g]$ — بدون $\frac{f'g-fg'}{g^2}$. واستخدمها فقط على $\tfrac00$ أو $\tfrac{\infty}{\infty}$؛ وتطبيقها عندما تكون النهاية محددة مسبقاً ينتج لا معنى له.
قيّم $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}$.
- عوض: $\frac{e^0-1}{0}=\frac{0}{0}$ — غير محددة، لذا تنطبق L'Hospital.
- اشتق البسط والمقام: $\dfrac{e^x}{1}$.
- $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{e^x}{1}=e^0=1$.
قاعدة L'Hospital: للحالات غير المحددة $\tfrac00$ أو $\tfrac{\infty}{\infty}$، $\lim\frac{f}{g}=\lim\frac{f'}{g'}$ — اشتق البسط والمقام بشكل منفصل (وليس قاعدة القسمة) وأعد التقييم. تأكد من الشكل أولاً، وكرر القاعدة طالما يظل الناتج غير محدد.