مقدمة عن معدلات مرتبطة
| English | العربية |
|---|---|
| related rates/rɪˈleɪtɪd reɪts/ | المعدلات المرتبطة |
| time/taɪm/ | الزمن |
عندما يقود معدل واحد آخر
- انفخ بالونًا: ينمو نصف قطره، وبسبب ذلك، ينمو حجمه أيضًا.
- المعدلان مرتبطان — معرفة مدى سرعة تغير نصف القطر تخبرك بمدى سرعة تغير الحجم.
- مسائل مثل هذه هي المعدلات المرتبطة: كميات عديدة تتغير معًا عبر الزمن.
- المحرك الذي يربط بينهما هو قاعدة السلسلة، المطبقة بالنسبة لـ الزمن.
مسألة معدلات مرتبطة تربط بين معدلات كميات تتغير بالنسبة لـ...
المتغيرات هي دوال للزمن، مرتبطة عبر قاعدة السلسلة.
ابدأ بمعادلة تربط المتغيرات
- أولاً، أوجد معادلة تربط الكميات معًا — عادةً هندسة أو صيغة.
- بالون: $V=\tfrac43\pi r^3$ يربط بين الحجم ونصف القطر.
- سلم ينزلق على جدار: $x^2+y^2=L^2$ (فيثاغورس) يربط بين المسافتين.
- هذه المعادلة الرابطية صحيحة في كل لحظة، لذا يمكننا اشتقاقها بالنسبة للزمن.
الحجم ينمو مع نصف القطر
y = a·x³ (V مقابل r)
$V=\tfrac43\pi r^3$ يرتفع بشدة — معدل نصف قطر صغير ينتج معدل حجم كبير عندما $r$ كبيرة.
الخطوة الأولى هي كتابة ____ يربط المتغيرات المتغيرة.
عادة ما تكون علاقة هندسية أو فيزيائية.
سلالم بطول $L$ يستند إلى جدار. أي معادلة تربط المسافة من القاعدة $x$ والارتفاع $y$؟
فيثاغورس: الجدار والأرضية يشكلان زاوية قائمة، لذا $x^2+y^2=L^2$.
اشتق بالنسبة للزمن
- كل متغير يعتمد بشكل خفي على $t$، لذا فإن الاشتقاق يستدعي معدلًا لكل منها — عبر قاعدة السلسلة.
- $\dfrac{d}{dt}\big[V=\tfrac43\pi r^3\big]$ يعطي $\dfrac{dV}{dt}=4\pi r^2\dfrac{dr}{dt}$.
- يساهم كل حد بعامل "$\tfrac{d(\text{that variable})}{dt}$" — تمامًا مثل الاشتقاق الضمني، لكن المتغير المخفي هو $t$.
- الآن تربط المعادلة المعدلات $\tfrac{dV}{dt}$ و$\tfrac{dr}{dt}$.
اشتقاق $V=\tfrac43\pi r^3$ بالنسبة لـ $t$ يعطي $\dfrac{dV}{dt}=$
قاعدة السلسلة في الزمن: $4\pi r^2$ ضرب $\tfrac{dr}{dt}$.
رتب المعطيات والمجهول
- اقرأ المسألة وسمّها: أي معدلات معطاة، وأي معدل فردي مطلوب؟
- "ينمو نصف القطر بمعدل $2\,\tfrac{\text{cm}}{\text{s}}$" → $\tfrac{dr}{dt}=2$ معطى.
- "ما مدى سرعة نمو الحجم؟" → $\tfrac{dV}{dt}$ هو المجهول.
- لاحظ أيضًا أي كميات ثابتة (مثل نصف القطر في اللحظة المطلوبة).
اشتقاق $r^3$ بالنسبة للزمن يعطي فقط $3r^2$.
إنه يعطي $3r^2\tfrac{dr}{dt}$ — العامل المعدلي ضروري.
"ينمو نصف القطر بمعدل $2$ سم/ثانية؛ ما سرعة نمو الحجم؟" حدد جميع العلامات الصحيحة.
معدل نصف القطر مُعطى، ومعدل الحجم مطلوب، و $V=\tfrac43\pi r^3$ يربط بينهما.
متغيرات معدلات مرتبطة هي دوال لـ الزمن، لذا فإن اشتقاق $r^3$ يعطي $3r^2\tfrac{dr}{dt}$ — لا فقط $3r^2$. نسيان $\tfrac{dr}{dt}$ (عامل معدل قاعدة السلسلة) هو الخطأ المحدد. تساهم كل كمية متغيرة في معدلها الخاص $\tfrac{d(\ )}{dt}$.
حجم بالون هو $V=\tfrac43\pi r^3$. ضع معادلة المعدلات المرتبطة.
- اشتق بالنسبة لـ $t$: $\dfrac{dV}{dt}=\dfrac43\pi\cdot 3r^2\cdot\dfrac{dr}{dt}=4\pi r^2\dfrac{dr}{dt}$.
- هذا يربط معدل نمو الحجم بمعدل نمو نصف القطر.
- بمعلومية $\tfrac{dr}{dt}$ ونصف القطر الحالي $r$، يمكننا الآن حل $\tfrac{dV}{dt}$ (في الدرس التالي).
مسألة المعدلات المرتبطة تربط معدلات تغير كميتين أو أكثر في الزمن. اكتب معادلة تربط المتغيرات (غالبًا هندسة)، وشتقها بالنسبة إلى $t$ باستخدام قاعدة السلسلة (كل متغير يحصل على $\tfrac{d(\ )}{dt}$)، وحدد أي من المعدلات معطاة وأي منها مطلوب.