حل مسائل معدلات مرتبطة
وصفة قابلة للتكرار للمسائل ذات المعدلات المرتبطة
- مسائل word problems ذات المعدلات المرتبطة تبدو صعبة حتى تتبع إجراءً ثابتًا.
- نفس خمس خطوات كل مرة: رسم، معادلة، اشتقاق، تعويض، حل.
- القاعدة الوحيدة التي يخالفها الناس: التعويض بالأرقام فقط بعد الاشتقاق.
- إتقان الوصفة يجعل كل مسألة معدلات مرتبطة روتينية.
الخطوات الخمس
- 1. ارسم وعلّم الكميات المتغيرة؛ لاحظ المعطيات والمطلوب.
- 2. ربط المتغيرات بـمعادلة (هندسة/صيغة).
- 3. اشتق طرفي المعادلة بالنسبة إلى $t$ (قاعدة السلسلة → معاملات المعدل).
- 4. عوض بالقيم المعروفة في تلك اللحظة.
- 5. حل لإيجاد المعدل المجهول؛ قدمه مع وحدات القياس والإشارة.
الحجم ينمو بشكل أسرع عندما يكون كبيراً
y = a·x³ (V مقابل r)
بسبب $\tfrac{dV}{dt}=4\pi r^2\tfrac{dr}{dt}$، فإن معدل نصف قطر ثابت يجعل معدل الحجم يرتفع كلما كبرت $r$.
رتب خطوات معدلات مرتبطة.
صورة، ربط، اشتقاق، تعويض وحل.
اشتق أولاً، ثم عوض لاحقاً
- أي عدد يتغير يجب أن يبقى متغيراً أثناء الاشتقاق.
- إذا وضعت $r=5$ قبل الاشتقاق، فإن معدله $\tfrac{dr}{dt}$ يختفي — وينهار المنهج بالكامل.
- عوض بقيم اللحظة فقط في الخطوة 4، بعد إجراء الاشتقاق.
- الأشياء الوحيدة التي يمكنك تثبيتها مبكراً هي الثوابت الحقيقية (مثل طول السلم الثابت).
باستخدام $\dfrac{dV}{dt}=4\pi r^2\dfrac{dr}{dt}$، $r=5$، و $\dfrac{dr}{dt}=2$، أوجد $\dfrac{dV}{dt}$ كضرب في $\pi$ (أدخل الرقم قبل $\pi$).
$4\pi(25)(2)=200\pi$.
متى يجب أن تعوض بالقيم العددية للحظة؟
اشتق أولاً؛ عوض بالأرقام لاحقاً فقط، وإلا ستختفي حدود المعدل.
ضبط $r=5$ قبل الاشتقاق هو اختصار صالح.
إنه يقضي على $\tfrac{dr}{dt}$ ويكسر الطريقة.
تحقق من الوحدات ومعقولية الإجابة
- الإجابة عبارة عن معدل — أضف وحدات المخرجات لكل مدخلات (مثلاً $\tfrac{\text{cm}^3}{\text{s}}$).
- تحقق من الإشارة: الكمية النامية → موجبة؛ المتناقصة → سالبة.
- اسأل عما إذا كانت القيمة معقولة للوضع.
- جملة ختامية مرتبة ("الحجم يتزايد بمعدل ... لكل ثانية") تحصل على علامات التفسير.
إجابة مسألة معدلات مرتبطة هي معدل، لذا يجب الإبلاغ عنها مع ____.
مثلاً: سم³ لكل ثانية.
تأتي إجابة معدلات مرتبطة بقيمة $\dfrac{dV}{dt}=-30\,\tfrac{\text{cm}^3}{\text{s}}$. هذا يعني أن الحجم...
معدل سالب يعني أن الحجم يتقلص بمعدل $30$ سم³/ثانية.
الخطأ الأول في مسائل المعدلات المرتبطة: التعويض بقيم اللحظة قبل الاشتقاق. احتفظ بكل كمية متغيرة بصيغة رمزية خلال خطوة الاشتقاق؛ عوض لاحقاً فقط. التعويض المبكر يقتل حدود المعدل ويعطي إجابة خاطئة (غالباً صفر).
يتزايد نصف قطر بالون كروي بمعدل $\tfrac{dr}{dt}=2\,\tfrac{\text{cm}}{\text{s}}$. ما هو معدل زيادة الحجم عندما $r=5$ سم؟
- ربط: $V=\tfrac43\pi r^3$. اشتق: $\dfrac{dV}{dt}=4\pi r^2\dfrac{dr}{dt}$.
- الآن عوض $r=5$، $\tfrac{dr}{dt}=2$: $\dfrac{dV}{dt}=4\pi(25)(2)=200\pi$.
- الحجم يتزايد بمعدل $200\pi\approx628\ \tfrac{\text{cm}^3}{\text{s}}$.
حل مسألة معدلات مرتبطة في خمس خطوات: ارسم/علّم، اكتب معادلة ربط، اشتق بالنسبة إلى $t$، عوض بقيم اللحظة فقط بعد الاشتقاق، وحل للمعدل المجهول. قدّمه بوحدات صحيحة وإشارة، وتحقق من أن النتيجة معقولة.