قاعدة القسمة
| English | العربية |
|---|---|
| Quotient Rule/ˈkwəʊʃənt ruːl/ | قاعدة القسمة |
| rational expression/ˈræʃənl ekˈspreʃn/ | التعبير الكسري |
قسمة الدوال تتطلب حذراً
- تماماً كما تحتاج المنتجات قاعدة الضرب، النسب تحتاج قاعدة القسمة.
- لا يمكنك اشتقاق البسط والمقام منفصلاً وقسمتهما — هذا خطأ.
- تعامل القاعدة مع تعبير نسبي $\dfrac{f}{g}$ من دالتين.
- بسطها يحتوي على طرح، لذا فإن الترتيب والإشارات مهم جداً.
القاعدة
-
$$\frac{d}{dx}\!\left[\frac{f}{g}\right]=\frac{f'\,g-f\,g'}{g^{2}}$$
- البسط: "مشتقة البسط times المقام، ناقص البسط times مشتقة المقام."
- المقام: المقام الأصلي، مربع.
- خط ذاكرة: "low d-high minus high d-low, over low-squared."
بسط قاعدة القسمة لـ $\dfrac{f}{g}$ هو...
البسط هو $f'g-fg'$، مقسوماً على $g^2$.
في قاعدة القسمة، مقام الإجابة هو $g$ ____ (إلى أي قوة؟).
المقام هو $g^2$.
حدد جميع العبارات الصحيحة حول قاعدة القسمة.
$g^2\ge0$ دائماً، لذا فهو لا يعكس الإشارة أبداً.
الترتيب هو كل شيء
- البسط هو $f'g - fg'$، وليس $fg' - f'g$ — تبديلهم يعكس كل إشارة.
- اكتب دائماً حد $f'g$ أولاً؛ هذا يثبت الترتيب ويمنع أخطاء الإشارات.
- مقام $g^2$ موجب دائماً، لذا فهو لا يغير إشارة الجواب أبداً.
- احتفظ بالقطع معلّمة: $f,f',g,g'$ قبل أن تقوم بالتجميع.
منحنى نسبي للاشتقاق
y = a / (x − b)
قسمة مثل $\dfrac{x^2}{x+1}$ لها ميل تحسبها قاعدة القسمة — لاحظ التقارب الرأسي حيث يكون المقام صفراً.
كتابة البسط بصيغة $fg' - f'g$ (معكوسة) تعطي نفس الإجابة.
عكس الترتيب يعكس إشارة البسط بالكامل — هذا خطأ في الإشارة.
اشتق $y=\dfrac{x}{x+1}$.
$\frac{(1)(x+1)-x(1)}{(x+1)^2}=\frac{1}{(x+1)^2}$.
أحياناً يكون المنتج أسهل
- نسبة $\dfrac{f}{g}$ يمكن إعادة صياغتها كـ منتج $f\cdot g^{-1}$ وإجرائه بقاعدتي الضرب والقوة.
- للمقامات البسيطة يمكن أن يكون هذا أسرع: $\dfrac{x}{x^2}=x^{-1}\Rightarrow -x^{-2}$.
- لكن للنسب الحقيقية لدالتين مثل $\dfrac{\sin x}{x}$، قاعدة القسمة هي المسار الأنظف.
- اختر ما يجنب الجبر المعقد.
أسرع طريقة لاشتقاق القسمة $\dfrac{x}{x^2}$ هي...
$\frac{x}{x^2}=x^{-1}\Rightarrow -x^{-2}$ — أبسط من قاعدة القسمة هنا.
بسط قاعدة القسمة هو $f'g - fg'$ — الترتيب وعلامة الناقص هما الصعوبة بأكملها. كتابة $fg' - f'g$ (معكوس) تلغي إجابتك. ولا تنسَ تربيع المقام. كلا الخطأين شائع جداً تحت ضغط الوقت.
اشتق $y=\dfrac{x^2}{x+1}$.
- $f=x^2\Rightarrow f'=2x$; $\quad g=x+1\Rightarrow g'=1$.
- $y'=\dfrac{f'g-fg'}{g^2}=\dfrac{2x(x+1)-x^2(1)}{(x+1)^2}$.
- $=\dfrac{2x^2+2x-x^2}{(x+1)^2}=\dfrac{x^2+2x}{(x+1)^2}$.
قاعدة القسمة: $\frac{d}{dx}\!\left[\frac{f}{g}\right]=\frac{f'g-fg'}{g^{2}}$ — "low d-high minus high d-low, over low-squared." احتفظ بـ ترتيب البسط ($f'g$ أولاً) و ** مربع** المقام. للحالات البسيطة، إعادة الكتابة كمنتج $f g^{-1}$ يمكن أن تكون أسهل.