إيجاد مشتقات دوال الظل، وظل التمام، والقاطع، وقاطع التمام
| English | العربية |
|---|---|
| trigonometric/ˌtrɪɡənəʊˈmetrɪk/ | مثلثي |
الدوال المثلثية الأخرى
- نعرف $\sin'=\cos$ و$\cos'=-\sin$. الدوال المثلثية الأربعة الأخرى هي جميعها نسب منها.
- لذا قاعدة القسمة تستنتج مشتقاتها — لا سحر جديد، مجرد جبر دقيق.
- $\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}$, $\cot x=\dfrac{\cos x}{\sin x}$, $\sec x=\dfrac1{\cos x}$, $\csc x=\dfrac1{\sin x}$.
- احفظ النتائج الأربعة، لكن اعرف أنها تأتي من قاعدة القسمة.
كل هذه المشتقات الأربعة مستخرجة باستخدام...
كل من $\tan,\cot,\sec,\csc$ هو قسمة لـ $\sin$/$\cos$.
اشتقاق $\tan x$
- $\dfrac{d}{dx}[\tan x]=\dfrac{d}{dx}\!\left[\dfrac{\sin x}{\cos x}\right]$.
- قاعدة القسمة: $\dfrac{\cos x\cos x-\sin x(-\sin x)}{\cos^2 x}=\dfrac{\cos^2 x+\sin^2 x}{\cos^2 x}$.
- بما أن $\cos^2 x+\sin^2 x=1$: $=\dfrac{1}{\cos^2 x}=\sec^2 x$.
- لذا $\boxed{\dfrac{d}{dx}[\tan x]=\sec^2 x}$ و، بنفس الطريقة، $\dfrac{d}{dx}[\cot x]=-\csc^2 x$.
موجة الجيب التي تمثل النسبة المكونة للظل
$\tan x=\sin x/\cos x$؛ مشتقتها $\sec^2 x$ موجبة دائماً — الظل متزايد أينما كان معرفاً.
ما هو $\dfrac{d}{dx}[\tan x]$؟
من قاعدة القسمة المطبقة على $\sin/\cos$: $\sec^2 x$.
$\dfrac{d}{dx}[\cot x]=$ ____ $\csc^2 x$.
إنها $-\csc^2 x$.
زوج القاطع والتمام
- $\dfrac{d}{dx}[\sec x]=\sec x\tan x$.
- $\dfrac{d}{dx}[\csc x]=-\csc x\cot x$.
- النمط: جميع دوال "co-" ($\cos,\cot,\csc$) تحمل إشارة سالب في مشتقتها.
- كل واحدة من هذه الأربعة تُستنتج أيضًا بتطبيق قاعدة القسمة على $\tfrac1{\cos}$ أو $\tfrac1{\sin}$.
ما هو $\dfrac{d}{dx}[\sec x]$؟
$\frac{d}{dx}[\sec x]=\sec x\tan x$.
مشتقات $\cot x$ و$\csc x$ تحملان كلاهما إشارة سالبة.
$-\csc^2 x$ و$-\csc x\cot x$ — دوال "co-" تحمل إشارة سالبة.
استخدامها مع قواعد أخرى
- تتكامل مشتقاتنا المثلثية مع قاعدة الضرب وقاعدة القسمة مثل غيرها من المشتقات.
- $\dfrac{d}{dx}[x\tan x]=\tan x+x\sec^2 x$ (قاعدة الضرب).
- $\dfrac{d}{dx}[3\sec x-\cot x]=3\sec x\tan x+\csc^2 x$.
- احتفظ بالنتائج الأربعة المحددة في مربع؛ ستظهر طوال بقية المسار الدراسي.
حدد جميع المشتقات الصحيحة.
الأخيرة خاطئة: $\frac{d}{dx}[\sec x]=\sec x\tan x$، وليس $\sec^2 x$.
راقب إشارات السالب على دوال "co-": $\frac{d}{dx}[\cot x]=-\csc^2 x$ و$\frac{d}{dx}[\csc x]=-\csc x\cot x$ يحملان كلاهما سالبًا، مما يطابق $\cos'=-\sin$. الخلط بين $\sec^2 x$ (من $\tan$) و$\csc^2 x$ (من $\cot$) هو خطأ شائع آخر — قم بترتيب كل مشتقة مع مصدرها.
اشتق $y=x^2\sec x$.
- قاعدة الضرب مع $f=x^2$، $g=\sec x$: $f'=2x$، $g'=\sec x\tan x$.
- $y'=f'g+fg'=2x\sec x+x^2\sec x\tan x$.
- العامل المشترك: $y'=x\sec x\,(2+x\tan x)$.
المشتقات المثلثية الأربعة الإضافية جميعها تنبثق من قاعدة القسمة: $\frac{d}{dx}[\tan x]=\sec^2 x$، $\frac{d}{dx}[\cot x]=-\csc^2 x$، $\frac{d}{dx}[\sec x]=\sec x\tan x$، $\frac{d}{dx}[\csc x]=-\csc x\cot x$. الدوال "co-" تحمل إشارة سالب. ادمجها بحرية مع قواعد الضرب والقسمة.