قاعدة الضرب
| English | العربية |
|---|---|
| Product Rule/ˈprɒdʌkt ruːl/ | قاعدة الضرب |
لماذا المنتجات تحتاج قاعدتها الخاصة
- مغرٍ ولكن خاطئ: مشتقة المنتج ليست حاصل ضرب المشتقات.
- $\dfrac{d}{dx}[x\cdot x]=\dfrac{d}{dx}[x^2]=2x$، لكن $f'g'=1\cdot1=1$. هما يختلفان.
- المنتجات تحصل على أداة خاصة: قاعدة الضرب.
- تأخذ في الاعتبار كلا العاملين المتغيرين في آن واحد.
مشتقة $f\cdot g$ تساوي $f'\cdot g'$.
إنها $f'g+fg'$، وليست $f'g'$.
القاعدة
- لمنتج دالتين:
-
$$\frac{d}{dx}\big[f\,g\big]=f'\,g+f\,g'$$
- بالكلمات: "مشتقة الأولى مضروبة في الثانية، زائد الأولى مضروبة في مشتقة الثانية."
- كل حد يشتق عاملًا واحدًا ويترك الآخر دون تغيير؛ ثم تجمع.
تنص قاعدة الضرب على $\dfrac{d}{dx}[fg]=$
مشتقة الأول مضروبة في الثاني، زائد الأول مضروباً في مشتقة الثاني.
نمط عمل منظم
- اشتق $y=x^2\,e^x$. ليكن $f=x^2$ و$g=e^x$.
- $f'=2x$, $g'=e^x$.
- $y'=f'g+fg'=2x\,e^x+x^2\,e^x$.
- أخرج عامل مشترك إذا طُلب: $y'=x e^x(2+x)$.
تغير ميل حاصل الضرب
y = ax² + bx
حاصل ضرب مثل $x^2 e^x$ له ميل يدمج بين العاملين — وتلخص قاعدة الضرب تغيرهما معاً.
اشتق $y=x^2 e^x$.
$f'g+fg'=2x e^x+x^2 e^x$.
بالنسبة لـ $y=x\sin x$، استخدم قاعدة الضرب لإيجاد $y'$ عند $x=0$. (تذكر $\sin 0=0$، $\cos 0=1$.)
$y'=\sin x+x\cos x$؛ عند $0$: $0+0\cdot1=0$.
عندما تحتاجها حقًا
- إذا كان المنتج يمكن فك ضربه أولاً، افعل ذلك — قد يكون أسهل ($x^2\cdot x^3=x^5\Rightarrow5x^4$).
- لكن عندما لا يمكن تبسيط العوامل (مثل $x^2\sin x$ أو $e^x\ln x$)، تكون القاعدة مطلوبة.
- ادمجها بحرية مع قاعدة القوة والمشتقات الأساسية لكل عامل.
- عيّن $f,f',g,g'$ أولاً — المحاسبة المنظمة تمنع الأخطاء.
أفضل خطوة أولى لـ $y=x^2\cdot x^3$ هي...
التبسيط أولاً ليصبح $x^5$ أسهل: $5x^4$. استخدم قاعدة الضرب فقط عندما لا يمكن دمج العوامل.
في كل حد من حدود قاعدة الضرب، أي مما يلي صحيح؟
يتم اشتقاق عامل واحد لكل حد؛ ويتم جمع الحدين. اشتقاق الاثنين في حد واحد هو الخطأ الكلاسيكي.
قاعدة الضرب هي $f'g+fg'$، وليس $f'g'$. كلا الحدين مطلوبان، وكل واحد يحافظ على العامل الآخر دون اشتقاق. خطأ شائع جداً هو اشتقاق كلا العاملين في نفس الحد — لا تفعل ذلك. يتم اشتقاق عامل واحد بالضبط في كل حد.
اشتق $y=(3x^2)(\sin x)$.
- $f=3x^2\Rightarrow f'=6x$; $\quad g=\sin x\Rightarrow g'=\cos x$.
- $y'=f'g+fg'=6x\sin x+3x^2\cos x$.
- لم يكن أي عامل قابلاً للتبسيط، لذا كانت قاعدة الضرب ضرورية.
قاعدة الضرب: $\frac{d}{dx}[fg]=f'g+fg'$ — اشتق عاملاً واحداً في كل مرة واجمع. استخدمها whenever منتج دوال قابلة للاشتقاق لا يمكن تبسيطه أولاً. إنه ليس $f'g'$؛ كل حد يشتق عاملاً واحداً بالضبط.