مشتقات cos x، sin x، eˣ، و ln x
| English | العربية |
|---|---|
| exponential/ˌekspəˈnenʃl/ | أسّي |
| logarithmic/ˌlɒɡəˈrɪθmɪk/ | لوغاريتمي |
| elementary derivatives/ˌelɪˈmentəri dɪˈrɪvətɪvz/ | المشتقات الابتدائية |
أربع مشتقات تستحق الحفظ
- قاعدة القوة تتوقف عند قوى $x$. وراءها توجد الدوال الأولية.
- أربعة منها تظهر باستمرار، لذا فإن مشتقاتها تستحق معرفتها جيداً.
- إنها $\sin x$، و$\cos x$، و$e^x$، و$\ln x$.
- احفظ هذه الأربعة، وبالقواعد السابقة، يمكنك اشتقاق نطاق واسع من التعبيرات.
الزوج المثلثي
- $\dfrac{d}{dx}[\sin x]=\cos x$.
- $\dfrac{d}{dx}[\cos x]=-\sin x$ — انتبه إلى علامة السالب.
- فحص مفيد: ميل $\sin x$ عند $0$ هو $1$ (أعلى ارتفاع)، و$\cos 0=1$. ✓
- (تتطلب هذه $x$ بـ الدرجات المئوية — الصيغ النظيفة صالحة فقط هناك.)
ميل دالة الجيب هو جيب التمام
حيث يكون $\sin x$ أكثر انحداراً (عند $0$)، يكون ميله $1$ — وهو بالضبط $\cos 0$. مشتقة $\sin$ هي $\cos$.
ما هو $\dfrac{d}{dx}[\sin x]$؟
$\frac{d}{dx}[\sin x]=\cos x$.
$\dfrac{d}{dx}[\cos x]=$ ____ $\sin x$ (انتبه للإشارة).
مشتقة جيب التمام هي $-\sin x$.
الدالة الأسية واللوغاريتمية
- $\dfrac{d}{dx}[e^x]=e^x$ — الدالة الأسية هي مشتقتها الخاصة. ميلها يساوي دائماً ارتفاعها.
- $\dfrac{d}{dx}[\ln x]=\dfrac{1}{x}$ — مشتقة اللوغاريتم، صالحة لـ $x>0$.
- $e^x$ هي الدالة الفريدة التي لا تتغير تحت الاشتقاق.
- $\ln x$ يتحول إلى المقلوب البسيط $\tfrac1x$ — نتيجة نظيفة بشكل مفاجئ.
$e^x$ هي مشتقتها الخاصة.
$\frac{d}{dx}[e^x]=e^x$ — فريدة من نوعها بين الدوال.
ما هي $\dfrac{d}{dx}[\ln x]$ (بالنسبة لـ $x>0$)؟
$\frac{d}{dx}[\ln x]=\tfrac1x$.
ادمجها مع قواعد الدمج
- هذه المشتقات الأساسية توضع مباشرة في قواعد المجموع والفرق وضرب الثابت.
- $\dfrac{d}{dx}[3\sin x-2e^x]=3\cos x-2e^x$.
- $\dfrac{d}{dx}[x^2+\ln x]=2x+\dfrac1x$.
- اشتق كل حد بقاعده الخاصة، ثم اجمع — لا يوجد جديد لتتعلمه beyond الأربعة حقائق.
اشتق $3\sin x-2e^x$.
$3\cos x$ و$e^x$ يظلان $e^x$: $3\cos x-2e^x$.
حدد جميع المشتقات الأولية الصحيحة.
الأخيرة خاطئة — $\frac{d}{dx}[\ln x]=\tfrac1x$، وليس $x$.
انتبه للإشارات والمجال. $\frac{d}{dx}[\cos x]=-\sin x$ (السالبة هي الخطأ الأعلى). $e^x$ هو مشتقه الخاص — لا تطبق قاعدة القوة عليه. و$\frac{d}{dx}[\ln x]=\tfrac1x$ ساري فقط من أجل $x>0$، وهو مجال $\ln$.
اشتق $h(x)=4\cos x+e^x-5\ln x$.
- $\dfrac{d}{dx}[4\cos x]=4(-\sin x)=-4\sin x$.
- $\dfrac{d}{dx}[e^x]=e^x$; $\quad\dfrac{d}{dx}[-5\ln x]=-\dfrac{5}{x}$.
- $h'(x)=-4\sin x+e^x-\dfrac{5}{x}$.
احفظ أربعة مشتقات أساسية: $\frac{d}{dx}[\sin x]=\cos x$، $\frac{d}{dx}[\cos x]=-\sin x$، $\frac{d}{dx}[e^x]=e^x$، $\frac{d}{dx}[\ln x]=\tfrac1x$. تتكامل مع قواعد المجموع/الفرق/ضرب الثابت لاشتقاق تعبيرات مختلطة. انتبه للسالبة على $\cos$، احتفظ بـ $x$ بالراديان، وتذكر أن $e^x$ هو مشتقه الخاص.