تعريف المشتقة لدالة واستخدام رموز المشتقة
| English | العربية |
|---|---|
| derivative/dɪˈrɪvətɪv/ | المشتقة |
المشتقة: المعدل اللحظي، مصحوباً
- المعدل اللحظي للتغير مفيد جداً لدرجة أنه حصل على اسم خاص: المشتقة.
- يحول "ميل المماس عند كل $x$" إلى دالة جديدة تماماً، $f'(x)$.
- أدخل إليها $x$، وستعيد لك ميل $f$ هناك مباشرة.
- هذه الدرس يجعل التعريف دقيقاً ويظهر الرموز التي ستستخدمها في كل مكان.
المشتقة هي ميل المماس
y = x²
اسحب النقطة على طول المنحنى — الرقم الذي يشير إليه ميل المماس هو بالضبط $f'(x)$ عند هذا الإدخال.
تعريف النهاية
- المشتقة لـ $f$ هي
-
$$f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$
- داخلها مقدار فرق — ميل الوتر على فترة بـ $h$.
- عندما تقترب $h\to0$ من الصفر، ينكمش المجال إلى نقطة واحدة، مما يحول ميل القاطع إلى ميل المماس.
أي تعبير يمثل تعريف النهاية لـ $f'(x)$؟
المشتقة هي نهاية كسر الفرق عندما $h\to0$.
نسخة "عند نقطة"
- لإيجاد الميل عند مدخل محدد واحد $a$، استخدم الصيغة البديلة:
-
$$f'(a)=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$$
- هنا $x$ يقترب من $a$ بدلاً من أن تنكسر خطوة $h$ لتصل إلى $0$ — نفس الفكرة، لكن مع المحاسبة المختلفة.
- كلا التعريفين هما مجرد "ميل الوتر في النهاية"، لذا يتفقان دائمًا.
يمكنك حساب $f'(x)$ عن طريق تعيين $h=0$ مباشرة في $\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$.
هذا يعطي $\tfrac00$؛ يجب أن تأخذ النهاية بعد التبسيط.
الشكل البديل $f'(a)=\lim_{x\to a}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}$ يُوصف بشكل أفضل بأنه...
هو نفس ميل المماس عند $a$، مُعبّر عنه بـ $x\to a$ بدلاً من $h\to0$.
قراءة الرموز
- نفس المشتق يرتدي ملابس متعددة — تعلّم التعرف عليها جميعًا:
- لاغرانج: $f'(x)$ (تُقرأ "$f$ مشتقة $x$").
- ليبنيتز: $\dfrac{dy}{dx}$ أو $\dfrac{d}{dx}[f(x)]$ — يركز على "معدل $y$ بالنسبة لـ $x$."
- جميعها تعني المعدل اللحظي للتغير، أي ميل خط المماس عند $x$.
رمز لايبنتيز $\dfrac{dy}{dx}$ يعني نفس شيء $f'(x)$: الـ ____ للمماس.
كلاهما يشير إلى معدل التغير اللحظي = ميل المماس.
حدد جميع الرموز التي تشير إلى مشتقة $y=f(x)$.
الثلاثة الأولى كلها مشتقة؛ $f(x)^{-1}$ هو مقلوب/معكوس، وليس مشتقة.
لا يمكنك ببساطة تعويض $h=0$ في $\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ — ذلك سيعطيك $\tfrac00$. المشتق هو النهاية عندما $h\to0$، وتتم تقييمه عن طريق تبسيط مقدار الفرق أولاً (اختصار $h$)، ثم جعل $h\to0$ يقترب من الصفر.跳过 النهاية هو الخطأ الكلاسيكي.
من التعريف، $f(x)=x^2$ يعطي $f'(x)=2x$. احسب $f'(3)$.
$f'(3)=2\cdot3=6$.
استخدم التعريف لإيجاد $f'(x)$ للدالة $f(x)=x^2$.
- $\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}=\dfrac{(x+h)^2-x^2}{h}=\dfrac{x^2+2xh+h^2-x^2}{h}$.
- $=\dfrac{2xh+h^2}{h}=2x+h$ (للدالة $h\neq0$).
- $\displaystyle\lim_{h\to0}(2x+h)=2x$، وبالتالي $f'(x)=2x$.
المشتقة $f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ (أو صيغة النقطة $f'(a)=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$) هي نهاية مقدار فرق — ميل خط المماس، أي المعدل اللحظي للتغير. اكتبها كـ $f'(x)$، $\frac{dy}{dx}$، أو $\frac{d}{dx}[f(x)]$.