تقدير مشتقات الدالة عند نقطة
| English | العربية |
|---|---|
| estimate/ˈestɪmət/ | تقدير |
| difference quotient/ˈdɪfrəns ˈkwəʊʃənt/ | مقدار الفرق |
قياس ميل لا يمكن حسابه بدقة
- أحياناً يكون لديك رسم بياني أو جدول، وليس معادلة — لكنك لا تزال تريد $f'$ عند نقطة.
- يمكنك تقدير المشتقة بناءً على ما تملكه.
- من الرسم البياني: قِس انحدار خط المماس بالعين.
- من الجدول: استخدم مقدار فرق بين أقرب المدخلات المتاحة.
قدّر الميل بالعين المجردة
y = x²
حرك النقطة وشاهد المماس — شذوذه هو المشتقة التي ستقدرها من الرسم البياني.
من الرسم البياني: شدة المماس
- ارسم (أو تخيل) خط المماس عند النقطة، ثم اقرأ ميله كـ الارتفاع ÷ الأفقي.
- اختر نقطتين واضحتين على المماس، وليس على المنحنى، وحسب $\tfrac{\Delta y}{\Delta x}$.
- مماس أكثر انحداراً → $|f'|$ أكبر؛ مماس أفقي → $f'\approx0$.
- مماس صاعد → مشتقة موجبة؛ هابط → سالبة.
لتقدير $f'(a)$ من رسم بياني، يجب عليك قياس ميل الـ...
المشتقة هي ميل المماس، تُقرأ من نقاط على خط المماس.
من جدول: مقدار الفرق الأقرب
- مع قيم الجدول، قدّر $f'(a)$ باستخدام مقدار فرق بين أقرب النقطتين:
- التقدير التناظري هو الأفضل: $f'(a)\approx\dfrac{f(a+h)-f(a-h)}{2h}$، باستخدام نقطة من كل جانب.
- أو استخدم مقدار طرف واحد $\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$ إذا كان جار واحد فقط متاحاً.
- $h$ أصغر (مدخلات أقرب) يعطي عادةً تقديراً أفضل.
جدول يعطي $f(1.9)=4.2$ و$f(2.1)=5.8$. استخدم كسر الفرق المتماثل لتقدير $f'(2)$.
$\dfrac{5.8-4.2}{2(0.1)}=\dfrac{1.6}{0.2}=8$.
استخدام قيم إدخال أقرب إلى النقطة يحسن عادة تقدير المشتقة القائم على الجدول.
الفترة الأصغر تقريباً أفضل لميل المماس.
المشتقة المقروءة من جدول أو رسم بياني هي ____, وليست قيمة دقيقة.
فقط الجبر على الصيغة يعطي المشتقة الدقيقة.
من $f(3)=10$ و$f(3.2)=11.4$، قدّر $f'(3)$ باستخدام كسر الفرق أحادي الجانب.
$\dfrac{11.4-10}{3.2-3}=\dfrac{1.4}{0.2}=7$.
قراءة الإشارة والحجم
- الإشارة للتقدير تقول الاتجاه الذي تتحرك فيه $f$: $+$ متصاعد، $-$ تناقص.
- الحجم يشير إلى السرعة: المشتقة $12$ تعني أن $f$ تتغير بمقدار $12$ وحدة لكل وحدة من $x$ هناك.
- دائماً ارفق الوحدات وفسرها في السياق (مثلاً "درجة الحرارة ترتفع بمقدار $2^\circ$ مئوية كل دقيقة").
- التقدير هو تقريب — قل ذلك، واستخدم أقرب بيانات متاحة.
إذا كانت المشتقة المقدرة عند نقطة سالبة، فإن الدالة هناك تكون...
معدل سالب يعني أن الدالة تتناقص هناك.
عما تقدر من رسم بياني، اقرأ ميل خط المماس، وليس لوتر قريب، وخذ نقطتيك من المماس، وليس من المنحنى. من جدول، لا تعيد استخدام النقطة $a$ نفسها كمدخلين — تحتاج مدخلين مختلفين يحيطان (أو يقتربان) من $a$.
يعطي الجدول $f(1.9)=4.2$، $f(2)=5.0$، $f(2.1)=5.9$. قدّر $f'(2)$.
- مقدار فرق تناظري: $f'(2)\approx\dfrac{f(2.1)-f(1.9)}{2(0.1)}=\dfrac{5.9-4.2}{0.2}=\dfrac{1.7}{0.2}=8.5$.
- (تقدير طرف واحد $\dfrac{5.9-5.0}{0.1}=9$ قريب لكن أقل توازناً.)
- لذا $f'(2)\approx8.5$ — $f$ تتصاعد بحوالي $8.5$ وحدة لكل وحدة من $x$.
لتقدير المشتقة: من رسم بياني، اقرأ ميل خط المماس (الارتفاع ÷ الأفقي باستخدام نقاط على المماس)؛ من جدول، استخدم مقدار فرق بين أقرب المدخلات — مقدار التناظر $\frac{f(a+h)-f(a-h)}{2h}$ هو الأكثر دقة. الإشارة تعطي الاتجاه، والحجم يعطي المعدل.