تعريف معدلات التغير المتوسطة واللحظية عند نقطة
| English | العربية |
|---|---|
| average rate of change/ˈævrɪdʒ reɪt ɒv tʃeɪndʒ/ | متوسط معدل التغير |
| instantaneous rate of change/ˌɪnstənˈteɪnɪəs reɪt ɒv tʃeɪndʒ/ | المعدل اللحظي للتغير |
| difference quotient/ˈdɪfrəns ˈkwəʊʃənt/ | مقدار الفرق |
| secant line/ˈsiːkənt laɪn/ | القاطع |
| tangent line/ˈtændʒənt laɪn/ | المماس |
من "على فترة" إلى "في لحظة"
- بنينا الوحدة 1 فكرة النهاية. الآن نستخدمها لقياس التغير.
- على فترة، متوسط معدل التغير هو التغير الكلي ÷ عرض الفترة.
- في لحظة واحدة، معدل التغير اللحظي هو ما يعرضه عداد السرعة.
- الجسر بينهما هو النهاية — وهذا الجسر هو الغاية الكاملة للوحدة 2.
المتوسط = ميل القاطعة
- متوسط معدل تغير $f$ من $x=a$ إلى $x=b$ هو نسبة الفرق:
-
$$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$$
- هندسياً، هذا هو الميل لـ خط القاطعة الواصل بين $\big(a,f(a)\big)$ و$\big(b,f(b)\big)$.
- إنه متوسط: ينعم كل ما حدث بين $a$ و$b$.
جد معدل التغير المتوسط لـ $f(x)=x^2$ على $[1,3]$.
$\dfrac{9-1}{3-1}=\dfrac{8}{2}=4$.
معدل التغير المتوسط على فترة يساوي ميل الـ...
المعدل المتوسط = الارتفاع مقسوماً على المسافة بين الطرفين = ميل الوتر.
تصغّر الفترة
- للحصول على المعدل عند $x=a$، حوّل $b$ نحو $a$ وتابع ميل القاطعة.
- كلما صغرت الفترة، تدور القاطعة نحو خط المماس عند $a$.
- الميل الناتج عن النهاية هو معدل التغير اللحظي عند $a$.
- لا يمر وقت فعلي في اللحظة — النهاية هي ما يجعل "المعدل عند نقطة" ذات معنى.
حرك الوتر ليصبح مماساً
y = x²
حرك النقطة على طول $y=x^2$ — ميل المماس الذي تقرأه هو المعدل اللحظي، وهو حد أوتار الوتر.
معدل التغير اللحظي عند نقطة يساوي ميل خط ____ هناك.
هو حد أوتار الوتر كلما تنكمشت الفترة — ميل المماس.
قراءة المعدل في السياق
- الإشارة تخبر بالاتجاه: معدل موجب → زيادة، سالب → انخفاض.
- الحجم يخبر بالسرعة: كلما كبرت القيمة المطلقة، زاد سرعة التغير.
- الوحدات مهمة: بالنسبة للموقع بالأمتار والزمان بالثواني، يكون المعدل بـ $\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$ — وهو سرعة.
- لذا متوسط المعدل = ميل القاطعة (على فترة)؛ المعدل اللحظي = ميل المماس (عند نقطة).
إذا كان معدل التغير المتوسط لـ $f$ على $[0,4]$ هو $0$، فإن $f$ يجب أن يكون ثابتاً على $[0,4]$.
هذا يعني فقط $f(0)=f(4)$؛ $f$ يمكن أن ترتفع ثم تهبط (مثلاً الخروج والعودة).
بالنسبة لـ $f(x)=x^2$، معدلات التغير المتوسطة على $[3,3.1]$ و$[3,3.01]$ هي $6.1$ و$6.01$. قدر المعدل اللحظي عند $x=3$.
تقترب المتوسطات من $6$.
دالة الموقع لها معدل لحظي $-5\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$ عند الزمن $t$. حدد جميع القراءات الصحيحة.
المعدل السالب = التحرك في الاتجاه السالب (لذلك ينقص الموقع)؛ مقدارها هو السرعة؛ وهو ميل المماس.
متوسط ومعدلات لحظية ليسوا قابلين للتبديل. يمكن أن يكون متوسط المعدل على $[a,b]$ صفراً بينما يكون المعدل اللحظي كبيراً في كل نقطة داخلية (تخيل الخروج والعودة). فقط في نهاية حد فترة متصغرة يصبح متوسط المعدل هو المعدل اللحظي.
بالنسبة لـ $f(x)=x^2$، أوجد متوسط المعدل على $[2,4]$ وقدر المعدل اللحظي عند $x=2$.
- المتوسط على $[2,4]$: $\dfrac{f(4)-f(2)}{4-2}=\dfrac{16-4}{2}=6$.
- التصغير نحو $2$: على $[2,2.1]$، $\dfrac{4.41-4}{0.1}=4.1$؛ على $[2,2.01]$، $4.01$.
- تتقارب معدلات التغير نحو $4$ — المعدل اللحظي عند $x=2$ هو $4$.
متوسط معدل التغير على $[a,b]$ هو نسبة الفرق $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ — ميل خط القاطعة. بتصغّر الفترة، تقترب القاطعة من خط المماس، whose slope is the instantaneous rate of change at that point.