العمل مع نظرية القيمة الوسطى (IVT)
| English | العربية |
|---|---|
| Intermediate Value Theorem/ˌɪntəˈmiːdɪət ˈvæljuː ˈθɪərəm/ | مبرهنة القيمة المتوسطة |
| solution/səˈluːʃn/ | المحلول |
| zero/ˈzɪərəʊ/ | صفر |
إذا صعدت من 1 م إلى 3 م، فقد مرت بـ 2 م
- امشِ باستمرار من ارتفاع $1$ م إلى $3$ م. في لحظة معينة كنت بالضبط عند $2$ م — لم تتمكن من跳过.
- هذه الحقيقة الواضحة هي مبرهنة القيمة المتوسطة (IVT).
- تضمن أن الدالة تلمس كل ارتفاع بين قيمتي طرفيها.
- الشرط الوحيد: يجب أن يكون المسار متصلًا — لا teleporting، لا قفزات.
الصعود المتصل يعبر كل مستوى
y = ax³ + bx + c
يمر هذا المنحنى المتصل عبر كل ارتفاع بين طرفاه — اختر هدفاً $N$ في النطاق وسيتم تحقيقه في مكان ما.
ما وعدت به المبرهنة
- إذا كان $f$ متصلًا على الفترة المغلقة $[a,b]$، وكان $N$ أي قيمة بين $f(a)$ و$f(b)$،
- فإننا نعلم أنه يوجد على الأقل نقطة $c$ في $(a,b)$ حيث $f(c)=N$.
- بكلمات أخرى: الدالة المتصلة تأخذ كل قيمتها الوسيطة في مكان ما بين الطرفين.
- هذا نظرية وجود — فهي تضمن أن $c$ موجود، لكنها لا تخبرك بقيمته.
تخبرك IVT بالقيمة الدقيقة لـ $c$ حيث $f(c)=N$.
إنها نظرية وجود — تضمن وجود $c$ لكن لا تحدد موقعه.
تحقق من الفرضيات أولاً
- قبل استخدام نظرية القيمة الوسطى (IVT)، تأكد من الشرطين بصوت عالٍ:
- (1) $f$ متصلة على $[a,b]$ (كثير حدود، أو تم التحقق منها بطريقة أخرى — انظر 1.12).
- (2) القيمة المستهدفة $N$ تقع حصريًا بين $f(a)$ و$f(b)$.
- تجاهل أي من هذين التحققين ولا تكون النتيجة مضمونة — للدالة التي تحتوي على قفزة، لا تنص نظرية القيمة الوسطى على شيء.
لتطبيق IVT على $[a,b]$ بهدف $N$، تحتاج إلى كل مما يلي...
تحتاج IVT إلى الاتصال وهدفاً في النطاق. الاشتقاقية غير مطلوبة.
تتطلب IVT أن تكون الدالة ____ على الفترة المغلقة.
بدون الاتصال قد تتخطى القفزة قيمة الهدف.
لـ $f$ المتصلة هناك $f(2)=5$ و$f(6)=9$. لأي هدف $N$ تضمن IVT حلاً $f(c)=N$؟
يجب أن يقع $N$ بين $5$ و$9$؛ فقط $7$ مؤهل.
الاستخدام الكلاسيكي: ضمان الجذر
- لإثبات أن للمعادلة حلاً في $[a,b]$، أعد كتابتها على شكل $g(x)=0$ واستهدف $N=0$.
- إذا كانت $g$ متصلة وكانت $g(a)$ و$g(b)$ لهما إشارات معاكسة، فإن $0$ تقع بينهما.
- تضمن IVT بعد ذلك صفراً $c$ حيث $g(c)=0$ — المعادلة لها جذر في $(a,b)$.
- هذا الحجة "تغير الإشارة ⇒ وجود جذر" هي الأكثر شيوعاً في الامتحانات.
لـ $g$ المتصلة هناك $g(1)=-2$ و$g(3)=4$. تضمن IVT...
إشارات معاكسة تحيط بـ $0$؛ تضمن IVT وجود جذر، ليس عدده أو موقعه.
بالنسبة لـ $g(x)=x^2-2$ على $[1,2]$، احسب $g(1)$ للتحقق من تغير الإشارة مع $g(2)=2$.
$g(1)=1-2=-1<0$ و$g(2)=2>0$: تغير إشارة، لذا $\sqrt2$ هو جذر في $(1,2)$.
تحتاج IVT إلى الاتصال على كامل الفترة المغلقة وهدف يقع بوضوح بين قيمتي الطرفتين. بدون الاتصال تفشل: دالة تقفز من $1$ إلى $3$ لن تساوي أبداً $2$. ونظرية القيمة الوسطى تضمن الوجود فقط — فهي لا تحدد $c$ ولا تخبركم بعدد مثل هذه $c$.
أثبت أن $x^3 + x - 1 = 0$ له حل في $[0,1]$.
- ليكن $g(x)=x^3+x-1$؛ إنه كثير حدود، لذا فهو متصل على $[0,1]$. ✓
- $g(0)=-1$ (سالب) و$g(1)=1$ (موجب) — إشارات معاكسة، لذا $N=0$ تقع بينهما.
- بناءً على IVT، توجد نقطة $c\in(0,1)$ حيث $g(c)=0$. المعادلة لها جذر في $(0,1)$.
نظرية القيم المتوسطة: إذا كانت $f$ متصلة على $[a,b]$ وكانت $N$ تقع بين $f(a)$ و$f(b)$، فإن $f(c)=N$ موجودة لبعض $c$ في $(a,b)$. تحقق دائمًا من التماسك وأن $N$ ضمن نطاق الدالة أولاً. استخداماتها الرئيسية: التغير في الإشارة للدالة المتصلة يضمن وجود جذر في الفترة — وهو نتيجة وجود وليس قيمة محددة.