ربط حدود اللانهائية بالمسارات المقاربة الأفقية
| English | العربية |
|---|---|
| end behavior/end bɪˈheɪvjə/ | سلوك النهاية |
| limits at infinity/ˈlɪmɪts æt ɪnˈfɪnɪti/ | النهايات عند ما لا نهاية |
| horizontal asymptote/ˌhɒrɪˈzɒntl ˈæsɪmptəʊt/ | مقارب أفقي |
التقريب للخلف: ماذا يحدث بعيدًا؟
- بدلاً من $x\to c$، دع الآن $x$ يهرب نحو $+\infty$ أو $-\infty$.
- هذا يصف سلوك النهاية للدالة — شكلها على اليسار البعيد واليمين البعيد.
- نكتب $\displaystyle\lim_{x\to\infty}f(x)=L$: أثناء $x$ يكبر بشكل هائل، $f$ يستقر نحو $L$.
- هذه نهايات عند اللانهاية، وكشف عن اتجاهات أفقية.
سباق القوى الأعلى
- للدالة الكسرية، سلوك النهاية هو سباق بين درجتي البسط والمقام.
- الفائز الأسفل (المقام درجة أعلى): $f\to0$. مثال $\dfrac{x}{x^2+1}\to0$.
- التعادل (درجات متساوية): $f\to$ نسبة المعاملات الرئيسية. مثال $\dfrac{3x^2+1}{x^2-5}\to3$.
- الفائز العلوي (البسط درجة أعلى): $f\to\pm\infty$ — لا يوجد مقارن أفقي (إنه ينمو).
منحنى ين flattens بعيداً
y = a / (x − b) + d
حرك $x$ نحو الحواف — المنحنى من نوع المقلوب ين flattens نحو مستقيم مقارب أفقي عندما $x\to\pm\infty$.
ما هو $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\dfrac{x}{x^2+1}$؟
درجة المقام أعلى، لذا يتناقص الكسر نحو $0$.
حدد جميع الدوال الكسرية ذات المستقيم المقارب الأفقي $y=0$.
درجة المقام أعلى → $y=0$. الرابطة الثالثة تتعلق بالدرجة، مما يعطي $y=3$ بدلاً من ذلك.
المقارن الأفقي
- إذا كانت $\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=L$ (رقم منتهٍ)، فإن الخط $y=L$ هو تقارب أفقي.
- يسطح الرسم البياني ويستمر جنبًا إلى جنب $y=L$ بعيدًا عن نقطة الأصل.
- حيلة: قسّم كل حد على أعلى قوة لـ $x$ في المقام، ثم اجعل $x\to\infty$ تؤول إلى ما لا نهاية (كل $\tfrac1{x^n}\to0$).
- $\dfrac{3x^2+1}{x^2-5}=\dfrac{3+\tfrac1{x^2}}{1-\tfrac5{x^2}}\to\dfrac{3}{1}=3$.
قيّم $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\dfrac{3x^2+1}{x^2-5}$.
درجات متساوية → نسبة المعاملات الرئيسية $\frac31=3$.
حد محدود عند اللانهائية، $\lim_{x\to\infty}f(x)=L$، يعطي مستقيماً مقارباً أفقياً $y=L$.
الرسم البياني ين flattens نحو $y=L$.
يمكن أن يختلف الطرفان
- قد تقترب الدالة من قيمة واحدة أثناء $x\to+\infty$ وقيمة مختلفة أثناء $x\to-\infty$.
- $\arctan x\to\tfrac{\pi}{2}$ على اليمين ولكن $\to-\tfrac{\pi}{2}$ على اليسار — اثنان من المقارنات الأفقية.
- لذا تحقق دائمًا من كلا الاتجاهين؛ لا تفترض التناظر.
- على عكس المقارن العمودي (ثقب في المنتصف)، المقارن الأفقي يتعلق بالاتجاه البعيد، وقد يعبر المنحنى حتى به.
يمكن للرسم البياني تقاطع مستقيه المقارب الأفقي في المنتصف ولا يزال يقترب منه في الأطراف.
تصف المسارات المقاربة الأفقية السلوك البعيد فقط؛ التقاطع في المنتصف مسموح به.
بالنسبة لـ $\arctan x$، النهايتان $\lim_{x\to+\infty}$ و$\lim_{x\to-\infty}$ هما...
يمكن للطرفين أن يختلفا — هنا مستقيمان مقاربان أفقيان.
المقارن العمودي والمقارن الأفقي كائنان مختلفان. عمودي ($x=c$): تنفجر المخرجات عند إدخال محدد — الرسم البياني لا يعبره أبدًا. أفقي ($y=L$): الاتجاه البعيد أثناء $x\to\pm\infty$ — الرسم البياني قد يعبره في الوسط ولا يزال يقترب منه في الأطراف.
جد $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\dfrac{2x^2-3x}{5x^2+7}$ والمقارن الأفقي.
- الدرجات تتعادل (كلاهما $2$)، لذا قسّم على $x^2$: $\dfrac{2-\tfrac3x}{5+\tfrac7{x^2}}$.
- أثناء $x\to\infty$، $\tfrac3x$ و$\tfrac7{x^2}$ الحدود $\to0$.
- بما أن $=\dfrac{2}{5}$ تساوي $y=\tfrac25$، فإنها تمثل التقارب الأفقي.
النهايات عند اللانهاية تصف سلوك الأطراف. بالنسبة للكسور الجبرية: يفوز المقام → $0$؛ تتساوى الدرجات → نسبة المعاملات الرئيسية؛ يفوز البسط → $\pm\infty$ (لا يوجد تقارب أفقي). يعطي $\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=L$ منتهٍ تقاربًا أفقيًا $y=L$، وقد يختلف الطرفان.