ربط حدود اللانهائية بالمسارات المقاربة العمودية
| English | العربية |
|---|---|
| infinite limit/ˈɪnfɪnət ˈlɪmɪt/ | الحد اللانهائي |
| vertical asymptote/ˈvɜːtɪkl ˈæsɪmptəʊt/ | مقارب رأسي |
عندما تهرب المخرجات إلى اللانهاية
- أحيانًا كما $x\to c$ الدالة لا تستقر على رقم — بل تنمو بدون حدود.
- نكتب $\displaystyle\lim_{x\to c}f(x)=\infty$ (أو $-\infty$) لوصف هذا السلوك الهارب.
- هذه نهاية لانهائية. احذر: "$=\infty$" هو وصف، وليس قيمة حقيقية — النهاية تقنيًا لا توجد كعدد محدود.
- يحدث هذا عندما ينكمش المقام إلى الصفر بينما يبقى البعيد عن الصفر في البسط.
كتابة $\lim_{x\to c}f(x)=\infty$ تعني أن الحد موجود كعدد محدود.
هو اختصار للنمو غير المحدود؛ كعدد محدود، الحد غير موجود.
اقرأ كل جانب على حدة
- بالقرب من الانفجار، غالبًا ما يتصرف الجانبان بشكل مختلف، لذا استخدم النهائيات اللانهائية أحادية الجانب.
- بالنسبة لـ $f(x)=\dfrac1{x-2}$: أثناء $x\to2^-$ المقام هو صغير جدًا سالب، لذا $f\to-\infty$.
- أثناء $x\to2^+$ المقام هو صغير جدًا موجب، لذا $f\to+\infty$.
- إشارة المقام المنكشفت تحدد أي اتجاه يطير كل جانب.
شاهد كيف تصعد المستقيم المقارب
y = a / (x − b)
عندما يقترب $x$ من $b$، يرتفع المقلوب إلى $+\infty$ من جهة واحدة و$-\infty$ من الأخرى — المستقيم $x=b$ هو مستقيم مقارب عمودي.
بالنسبة لـ $f(x)=\dfrac1{x-2}$، ما هو $\displaystyle\lim_{x\to2^-}f(x)$؟
على يسار $2$ مباشرة، $x-2$ سالب صغير جداً، لذا $\frac{1}{\text{tiny}^-}\to-\infty$.
تحديد المقارن العمودي
- المقارن العمودي هو الخط $x=c$ الذي يلامسه الرسم البياني وهو يصعد نحو $\pm\infty$.
- للدالة الكسرية، ابحث حيث يكون المقام صفرًا لكن البسط ليس صفرًا.
- $\dfrac{x+1}{x-2}$: المقام يساوي صفرًا عند $x=2$، والبسط يساوي $=3\neq0$ هناك → تقارب عمودي $x=2$.
- (إذا كان كلاهما صفرًا، قم بالتحليل أولاً — قد يكون ثقب قابل للإزالة بدلاً من ذلك.)
عند أي قيمة لـ $x$ يكون لـ $f(x)=\dfrac{x+1}{x-4}$ مستقيم مقارب عمودي؟
صفر في المقام عند $x=4$، البسط $=5\neq0$ → مستقيم مقارب $x=4$.
بالنسبة لـ $\dfrac{x^2-9}{x-3}$ عند $x=3$، كل من البسط والمقام يساوي صفر. هذا هو...
كلاهما صفر يعني الاختصار: $x+3\to6$. إنه ثقب قابل للإزالة، وليس مستقيماً مقارباً.
المستقيم $x=c$ الذي يحاذيه الرسم البياني عندما يتجه نحو $\pm\infty$ هو مستقيم ____ عمودي.
إنه يحدد انقطاعاً لا نهائياً.
النهاية اللانهائية ⇄ المقارن
- حقيقة الرسم البياني وحقيقة النهاية هما وجهان لنفس الشيء.
- "$\lim_{x\to2^+}f(x)=+\infty$" هو المنحنى يتسلق المقارن $x=2$ من اليمين.
- لذا فإن النهاية اللانهائية عند $c$ تضمن وجود مقارن عمودي عند $x=c$، والعكس صحيح.
- صف كليهما: النهايات اللانهائية أحادية الجانب و خط المقارن.
الدالة الكسرية لها مستقيم مقارب عمودي عند $x=c$ عندما يتحقق أي مما يلي؟
صفر في المقام، البسط غير صفري → انفجار. إذا كان البسط صفرًا أيضًا، فقد يكون ثقباً قابلاً للإزالة.
كتابة $\lim_{x\to c}f(x)=\infty$ لا تعني أن النهاية موجودة كرقم — إنه اختصار لـ "ينمو بدون حدود." والمقام الصفري وحده هو ليس تلقائيًا مقارنًا: إذا كان البسط أيضًا صفرًا هناك، فقم بالإلغاء أولًا — قد تجد ثقبًا قابلاً للإزالة، وليس انفجارًا.
حلل $f(x)=\dfrac{1}{x-2}$ قرب $x=2$.
- $x\to2^-$: المقام $\to0^-$، لذا $f\to-\infty$.
- $x\to2^+$: المقام $\to0^+$، لذا $f\to+\infty$.
- البسط $1\neq0$، لذا $x=2$ هو مقارن عمودي.
- النهاية من الجانبين غير موجودة (الجوانب تذهب في اتجاهات معاكسة).
النهاية اللانهائية $\lim_{x\to c}f(x)=\pm\infty$ تصف دالة تنمو بدون حدود كلما $x\to c$ — اختصار، وليس قيمة محدودة. اقرأ كل جانب على حدة (إشارة المقام المنكشفت تحدد الاتجاه). حيث يكون مقام الدالة الكسرية صفرًا لكن بسطها ليس كذلك، يوجد مقارن عمودي $x=c$.