إزالة الانقطاعات
| English | العربية |
|---|---|
| piecewise function/ˈpiːswaɪz ˈfʌŋkʃn/ | الدالة المجزأة |
سد الثقب
- عدم الاتصال القابل للإزالة هو ثقب توجد فيه النهاية لكن القيمة خاطئة أو مفقودة.
- بما أن النهاية رقم صالح تمامًا، يمكنك إعادة تعريف الدالة عند تلك النقطة واحدة لسد الثقب.
- اجعل قيمة النقطة مساوية للنهاية — الآن يتدفق المنحنى بسلاسة.
- هذا هو إصلاح الاتصال: ممكن فقط للنوع القابل للإزالة.
المنحنى خلف الثقب
y = x + 3
الدالة المختصرة $y=x+3$ هي خط مستقيم — ملء الثقب يرسم ببساطة النقطة التي يمر بها الخط بالفعل.
حل ثابت مجهول
- غالبًا ما تحتوي الدالة مجزأة على ثابت غير معروف $k$، ويجب عليك اختيار $k$ لجعله متصلاً.
- القاعدة هي الشرط (3): اجعل النهاية مساوية للقيمة عند الوصلة.
- اجعل الجزأين متساويين عند نقطة الوصلة وحل من أجل $k$.
- معادلة واحدة ومجهول واحد — جبر نظيف.
لجعل الدالة المجزأة متصلة عند الفاصل، اجعل الحد مساوياً لقيمة الدالة ____.
هذا هو شرط الاستمرارية (3): قيمة $=$ للنهاية.
نمذج محلولة
- لنفترض أن $f(x)=\begin{cases}x+k,&x;<2\\3x-1,&x;\ge2\end{cases}$ يجب أن تكون متصلة عند $x=2$.
- النهاية اليسرى: $2+k$. القيمة اليمنى: $3(2)-1=5$.
- الاتصال يتطلب $2+k=5$، لذا $k=3$.
- مع $k=3$ يلتقي الجزأان بدقة — لا يوجد قفز، دالة متصلة.
لكي تكون $f(x)=\begin{cases}x+k,&x;<2\\3x-1,&x;\ge2\end{cases}$ مستمرة عند $x=2$، أوجد $k$.
ساوِ القطع عند $2$: $2+k=5\Rightarrow k=3$.
تعرف ما لا يمكن إصلاحه
- الثقب القابلة للإزالة فقط هي التي يمكن إصلاحها — يجب أن تكون النهاية موجودة بالفعل.
- القفزة (نهايات أحادية الجانب غير متساوية) لديها فجوة ذات عرض حقيقي: إعادة تعريف واحدة لا تسدها.
- عدم الاتصال اللانهائي ينفجر: لا قيمة تطيع تقارضاً.
- لذلك صنف أولاً؛ إذا كانت النهاية من الطرفين غائبة، فإن عدم الاتصال دائم.
أي انقطاع يمكن إزالته بإعادة تعريف نقطة واحدة؟
النوع القابل للإزالة فقط له نهاية ذات جانبين لتطابقها؛ القفز والانفجارات لا يمكن إصلاحها.
إعادة تعريف $f(c)$ يمكن أن يخلق حداً ثنائي الجانب لم يكن موجوداً من قبل.
النقطة الواحدة لا تؤثر على الحد؛ إذا تعارضت الجوانب، فإن إعادة التعريف لا تغيير فيها.
حدد جميع الانقطاعات التي لا يمكن إزالة.
أي شيء بدون حد ثنائي الجانب دائم؛ فقط الثقب القابل للإزالة يمكن ملؤه.
لا يمكنك "إزالة" عدم الاتصال إلا حيثما كانت النهاية من الطرفين موجودة بالفعل. إذا اختلفت النهايات من اليمين واليسار، فإن تعيين $f(c)$ لأي رقم سيترك الجانبين غير متفقين — ستبقى الدالة غير متصلة. إعادة تعريف نقطة لا تنشئ نهائية لم تكن موجودة.
لإزالة ثقب $\dfrac{x^2-25}{x-5}$ عند $x=5$، عرّف $f(5)$ مساويةً للنهاية. ما القيمة؟
النهاية $=\lim_{x\to5}(x+5)=10$، لذا $f(5)=10$.
أوجد $c$ بحيث تكون $f(x)=\begin{cases}\dfrac{x^2-9}{x-3},&x;\neq3\\ c,&x;=3\end{cases}$ متصلة عند $x=3$.
- النهاية: $\displaystyle\lim_{x\to3}\dfrac{x^2-9}{x-3}=\lim_{x\to3}(x+3)=6$.
- التماسك يتطلب $c=\lim_{x\to3}f(x)=6$.
- تعيين $c=6$ يملأ الثقب؛ الآن $f$ متصلة عند $3$.
يتم إصلاح الانقطاع القابل للإزالة بإعادة تعريف $f(c)$ لتساوي (الموجود) النهاية. بالنسبة لـ الدالة مجزأة الأجزاء ذات ثابت مجهول، نساوي الأجزاء عند نقطة الاتصال — نهاية $=$ قيمة — ونحل. الانقطاعات القفزية واللانهاية ليس لها نهائيات من الجانبين، لذا فهي لا يمكن إزالتها.