تأكيد الاستمرارية على فترة
| English | العربية |
|---|---|
| interval/ˈɪntəvl/ | فترة / مجال |
| domains/dəˈmeɪnz/ | المجالات |
من نقطة إلى امتداد كامل
- الاتصال بنقطة واحدة أمر جيد؛ عادة نريد الاتصال عبر فترة.
- الدالة متصلة في فترة إذا كانت متصلة في كل نقطة بداخلها.
- هذا هو ما يسمح لك برسم الامتداد بأكمله دون رفع قلمك.
- ملاحظتان دقيقتان: كيفية التعامل مع نقاط النهاية، وأي الدوال المألوفة متصلة تلقائيًا.
مستمرة عبر العرض بالكامل
y = ax³ + bx
كثير الحدود مستمر على كل فترة — لا ثقوب، ولا قفزات، ولا انفجارات في أي مكان تنظر إليه.
الفترات المفتوحة والمغلقة
- في الفترة المفتوحة $(a,b)$: تحقق من استمرارية الشرط الثلاثة في كل نقطة داخلية.
- في الفترة المغلقة $[a,b]$: تعامل أيضًا مع نقاط النهاية، حيث يمكنك الاقتراب من جانب واحد فقط.
- عند الطرف الأيسر $a$، اشترط الاتصال من اليمين: $\displaystyle\lim_{x\to a^+}f(x)=f(a)$.
- عند الطرف الأيمن $b$، اشترط الاتصال من اليسار: $\displaystyle\lim_{x\to b^-}f(x)=f(b)$.
عند الطرف الأيسر $a$ لفترة مغلقة $[a,b]$، تتطلب الاستمرارية...
يمكنك الاقتراب من الطرف الأيسر فقط من اليمين، لذا يُشترط الاستمرالية من اليمين.
بالنسبة لـ $f(x)=\sqrt x$ على $[0,9]$، يتطلب التحقق من الاستمرالية من اليسار عند الطرف الأيمن $\lim_{x\to9^-}\sqrt x$. ما هذه القيمة؟
$\sqrt 9 = 3$، والتي تساوي $f(9)$، لذا $f$ متصلة من اليسار هناك.
الدوال التي تأتي "متصلة مسبقًا"
- في مجالاتها الطبيعية، هذه العائلات متصلة في كل مكان:
- كثيرات الحدود — متصلة لجميع $x$ الحقيقية.
- الدوال الكسرية والأسية واللوغاريتمية والمثلثية — متصلة أينما هي معرّفة.
- لذلك تكون الدالة الكسرية متصلة باستثناء النقاط التي يكون فيها المقام صفرًا؛ $\ln x$ متصلة لـ $x>0$.
أي دالة مستمرة لـ كل حقيقي $x$؟
كثيرات الحدود مستمرة في كل مكان؛ البقية تحتوي على فجوات في المجال.
حدد جميع عائلات الدوال المستمرة على مجالها الطبيعي الكامل.
الأربعة كلها مستمرة في كامل مجالاتها — المجال يستبعد فقط نقاط المشاكل (مثل الكسرية عند أصفار المقام).
لماذا نهتم: لأنها تفتح الباب للنظريات
- الاتصال في فترة مغلقة هو البوابة إلى النظريات الكبيرة القادمة.
- كلا من نظرية القيمة المتوسطة (1.16) ونظرية القيمة القصوى (الوحدة 5) تتطلبان الاتصال في $[a,b]$.
- تخطي التحقق من الاتصال يعني أن تلك النظيرات لا تنطبق ببساطة — فخ trap شائع في الامتحانات.
- لذا فإن تأكيد الاتصال على فترة ليس عملًا بلا فائدة؛ إنه الفرضية التي تقوم عليها كل بقية الأشياء.
$f(x)=\dfrac1x$ مستمرة على الفترة $[-1,1]$.
$0\in[-1,1]$ و $f$ تنفجران هناك، لذا هما ليستا مستمرتين على تلك الفترة.
الاستمرارية على فترة مغلقة هي فرضية مطلوبة لنظرية القيمة ____.
تتطلب نظرية القيم الوسطى (ونظرية القيم القصوى) الاستمرارية على $[a,b]$.
"متصلة في مجالها" ليست نفسها "متصلة في كل مكان." $f(x)=\dfrac1x$ متصلة في مجالها (جميع $x\neq0$)، لكنها ليست متصلة في $[-1,1]$ لأن $0$ تقع في تلك الفترة وتنفجر $f$ هناك. تحقق دائمًا من أن الفترة تتجنب نقاط المشاكل.
هل $f(x)=\sqrt{x}$ متصلة في $[0,4]$؟
- interiors $(0,4)$: $\sqrt x$ متصلة (دالة قياسية في مجالها). ✓
- طرف يسار $0$: $\displaystyle\lim_{x\to0^+}\sqrt x=0=f(0)$ — متصلة من اليمين. ✓
- طرف يمين $4$: $\displaystyle\lim_{x\to4^-}\sqrt x=2=f(4)$ — متصلة من اليسار. ✓
- لذا فإن $f$ متصلة في الفترة المغلقة $[0,4]$.
يكون $f$ متصلًا في فترة عندما يكون متصلًا في كل نقطة بداخلها، باستخدام الاتصال أحادي الجانب عند أطراف فترة مغلقة. كثيرات الحدود والدوال الكسرية والأسية واللوغاريتمية والمثلثية متصلة في مجالاتها. هذا الاتصال بالفترة هو الفرضية التي تعتمد عليها IVT و EVT.