تعريف الاستمرارية عند نقطة
| English | العربية |
|---|---|
| continuous/kənˈtɪnjuːəs/ | متصلة |
"ارسمه دون رفع قلمك"
- بغرض الحدس، تكون الدالة متصلة عند $c$ إذا كان رسمها البياني خالياً من الانقطاع هناك — لا ثقب، لا قفز، لا تضخم.
- لكن "بدون انقطاع" يحتاج إلى اختبار دقيق يمكنك التحقق منه، وليس مجرد النظر بعينك.
- يحدد التفاضل والتكامل ذلك لـ ثلاث شروط، جميعها تتعلق بالنقطة $c$.
- اجتازت الثلاث وتتدفق المنحنى بسلاسة عبر $\big(c, f(c)\big)$.
منحنى بدون انقطاع
y = ax² + bx + c
يمر هذا كثير الحدود بثلاثة شروط استمرارية عند كل نقطة — معرفة، وجود النهاية، وتطابقهما.
الشروط الثلاثة
- (1) $f(c)$ معرف — النقطة موجودة فعلياً (لا ثقب).
- (2) $\displaystyle\lim_{x\to c}f(x)$ موجودة — تتفق النهايات من كلا الجانبين (لا قفز، لا تضخم).
- (3) هما متساويان: $\displaystyle\lim_{x\to c}f(x)=f(c)$ — يصل المنحنى تماماً حيث تجلس النقطة.
- يجب أن تتحقق الثلاثة جميعاً. الاتصال عند $c$ هو بالضبط الشروط (1) + (2) + (3).
حدد جميع الشروط اللازمة لتكون $f$ مستمرة عند $c$.
الشروط الثلاثة هي المعرفة، وجود النهاية، والتساوي. لا يشترط أن تكون كثيرة حدود.
يقول الشرط الثالث للاستمرارية إن النهاية يجب أن ____ قيمة الدالة $f(c)$.
$\lim_{x\to c}f(x)=f(c)$.
كسر أي واحد → انقطاع
- فشل (1): النقطة مفقودة — ثقب حتى لو كانت النهاية موجودة.
- فشل (2): الأطراف لا تتفق أو تفجر الدالة — قفز أو انقطاع لا نهائي.
- فشل (3): كلاهما موجود لكن النقطة العائمة خارج المنحنى — ثقب قابل للإزالة مرسوم في مكان آخر.
- كل فشل يطابق نوع انقطاع من الدرس السابق.
إذا كانت $f(c)=1$ و $\lim_{x\to c}f(x)=4$، فإن الدالة عند $c$ تكون...
كلاهما موجود لكنهما غير متطابقتين — يفشل الشرط 3، لذا $f$ غير مستمرة (ثقب قابل للإزالة).
التحقق من نقطة محددة
- عوض: هل $f(c)$ عدد حقيقي؟ (الشرط 1.)
- خذ النهاية من كلا الجانبين: هل يتفقان على قيمة $L$؟ (الشرط 2.)
- قارن: هل $L=f(c)$؟ (الشرط 3.)
- فقط "نعم، نعم، نعم" تكسب علامة متصلة عند $c$.
معرفة $f(c)$ معرفة فقط تكفي لاستنتاج أن $f$ مستمرة عند $c$.
تحتاج أيضاً إلى وجود النهاية وتساويها مع $f(c)$.
بالنسبة لـ $f(x)=x^2+1$، هل $f$ مستمرة عند $x=2$؟
تنطبق جميع الشروط الثلاثة، لذا $f$ متصلة عند $2$ (الدوال كثيرة الحدود متصلة في كل مكان).
لاستمرارية $f$ عند $x=1$ نحتاج $\lim_{x\to1}f(x)=f(1)$. إذا كان $\lim_{x\to1}f(x)=7$، فما الذي يجب أن يساويه $f(1)$؟
الشرط 3 يفرض $f(1)=7$.
جميع الشروط الثلاثة مطلوبة — التحقق فقط من وجود $f(c)$، أو وجود النهاية فقط، ليس كافياً. يمكن لدالة أن يكون لها $f(c)=1$ ممتاز و$\lim_{x\to c}f(x)=4$ ممتاز، ومع ذلك تظل غير متصلة لأن $1\neq4$ (يفشل الشرط 3).
هل $f(x)=\begin{cases}\dfrac{x^2-1}{x-1},&x;\neq1\\[4pt]3,&x;=1\end{cases}$ متصلة عند $x=1$؟
- (1) $f(1)=3$ — معرّفة. ✓
- (2) $\displaystyle\lim_{x\to1}\dfrac{x^2-1}{x-1}=\lim_{x\to1}(x+1)=2$ — موجودة. ✓
- (3) $2 \neq 3$ — غير مساوية. ✗
- يفشل الشرط (3)، لذا فإن $f$ غير متصلة عند $1$ (ثقب قابل للإزالة مع رسم النقطة على ارتفاع $3$).
$f$ تكون متصلة عند $c$ بالضبط عندما تنطبق ثلاثة أشياء: $f(c)$ معرّف، $\displaystyle\lim_{x\to c}f(x)$ موجودة، وكلاهما متساوي. إهمال أي واحد منها يؤدي إلى عدم الاتصال — الشرط الذي فشل يخبرك بالنوع.