استكشاف أنواع الانقطاع
| English | العربية |
|---|---|
| discontinuity/dɪskɒntɪˈnjuːɪti/ | انقطاعًا |
| removable discontinuity/rɪˈmuːvəbl dɪskɒntɪˈnjuːɪti/ | انقطاع قابل للإزالة |
| jump discontinuity/dʒʌmp dɪskɒntɪˈnjuːɪti/ | انقطاع قفزي |
| infinite discontinuity/ˈɪnfɪnət dɪskɒntɪˈnjuːɪti/ | انقطاع لا نهائي |
| vertical asymptote/ˈvɜːtɪkl ˈæsɪmptəʊt/ | مقارب رأسي |
حيث "ينقطع" الرسم البياني
- يمكن رسم منحنى متصل دون رفع القلم. الانقطاع هو انقطاع في هذا التدفق.
- ليست كل الانقطاعات متساوية — هناك ثلاثة أنواع مختلفة، لكل منها توقيع رسومي خاص به.
- تحديد النوع يخبرك فوراً ما إذا كان الانقطاع قابلاً للإصلاح أم لا.
- لنلتقي بالأنواع الثلاثة: القابلة للإزالة، القفز، واللا نهائية.
قابلة للإزالة: نقطة مفقودة واحدة
- الانقطاع القابل للإزالة هو مجرد ثقب في منحنٍ سلس بشكل عام.
- الـ نهاية موجودة (يقترب كلا الجانبين من نفس الارتفاع)، لكن $f(c)$ مفقود أو مرسوم في مكان آخر.
- $f(x)=\dfrac{x^2-4}{x-2}$ بها ثقب عند $x=2$: النهاية هي $4$، ومع ذلك $f(2)$ غير معرفة.
- بما أن النهاية موجودة، يمكنك "ملء الثقب" — ومن هنا قابل للإزالة (الدرس 1.13).
عند $x=3$، $f(x)=\dfrac{x^2-9}{x-3}$ لها نهاية تساوي $6$ لكن $f(3)$ غير معرفة. الانقطاع هو...
النهاية موجودة لكن القيمة مفقودة — ثقب، أي قابل للإزالة.
قفز: الأطراف لا تتفق
- يحدث انقطاع القفز عندما تكون النهايات من اليسار واليمين محدودة ولكن مختلفة.
- يقفز الرسم البياني من ارتفاع إلى آخر — تخيل درجة أو شريحة ضريبية.
- هنا $\displaystyle\lim_{x\to c}f(x)$ لا توجد، لأن النهايات من جانب واحد لا تتفق.
- لا يمكن لأي قيمة نقطة واحدة سد فجوة ذات عرض لا يساوي صفراً، لذا فإن القفز غير قابل للإزالة.
منحنى ينفجر
y = a / (x − b)
مقلوب دالة يتجه نحو $\pm\infty$ بالقرب من حيث يصفر مقامه — هذا انقطاع لانهائي ومقارب عمودي.
يمكن إزالة انقطاع القفز بإعادة تعريف الدالة عند النقطة الواحدة.
النهايات أحادية الجانب مختلفة، لذا لا توجد قيمة واحدة تربط الفجوة — القفزات غير قابلة للإزالة.
الدالة الدرجية تساوي $1$ لـ $x<0$ وتساوي $4$ لـ $x\ge0$. ما هو حجم القفز عند $x=0$؟
اليمين ناقص اليسار: $4-1=3$.
لا نهائية: متجهة نحو $\pm\infty$
- الانقطاع اللا نهائي هو المكان الذي ينمو فيه الدالة بلا حدود بالقرب من $c$.
- يرتفع الرسم البياني أو ينخفض بسرعة على طول تقارب رأسي — كما في $f(x)=\dfrac1{x-2}$ عند $x=2$.
- النهاية لا نهائية (أو غير موجودة)، لذا فإن هذا الانقطاع أيضاً غير قابل للإزالة.
- التوقيع: مقام يؤول إلى الصفر بينما البسط لا يفعل ذلك.
يظهر الانقطاع اللانهائي على الرسم البياني كمقارب عمودي ____.
تنمو الدالة بلا حدود على طول المقارب العمودي.
أي نوع من الانقطاعات هو الوحيد الذي تكون فيه النهاية ذات الجانبين موجودة؟
القابل للإزالة = ثقب تتفق عنده كلا الجانبين، لذا فإن النهاية موجودة.
حدد جميع الدوال التي تحتوي على انقطاع لانهائي عند النقطة المحددة.
الثالثة قابلة للإزالة (النهاية $=2$). البقية تنفجر نحو $\pm\infty$.
النوع القابل للإزالة فقط له نهاية حقيقية من جانبين. بالنسبة لانقطاعات القفز واللا نهائية، لا توجد نهاية، لذا لا يمكن لإعادة تعريف ذكي عند النقطة المفردة جعل الدالة متصلة. لا تحاول "ملء" القفز — الفجوة لها عرض حقيقي.
صنف نوع الانقطاع لكل دالة عند النقطة المحددة:
- $\dfrac{x^2-9}{x-3}$ عند $x=3$: نهاية $=6$، القيمة غير معرّفة → قابل للإزالة (ثقب).
- $f(x)=\begin{cases}1,&x;<0\\2,&x;\ge0\end{cases}$ عند $x=0$: يسار $\to1$، يمين $\to2$ → قفز.
- $\dfrac{1}{x^2}$ عند $x=0$: تنمو لتصل إلى $+\infty$ → لا نهائية.
ثلاثة أنواع من الانقطاعات: القابلة للإزالة (ثقب — النهاية موجودة لكن $f(c)$ لا تطابق)، القفز (نهايات من جانب واحد محدودة لا تتفق)، واللا نهائية (غير محدودة بالقرب من $c$، تقارب رأسي). فقط النوع القابل للإزالة له نهاية من جانبين، لذا فقط هو القابل للإصلاح.