تحديد الحدود واستخدام رمز النهاية
| English | العربية |
|---|---|
| limit/ˈlɪmɪt/ | حد |
| approaches/əˈprəʊtʃɪz/ | النهج |
| one-sided limit/wʌn ˈsaɪdɪd ˈlɪmɪt/ | الحد أحادي الجانب |
| left-hand/left hænd/ | من اليسار |
| right-hand/raɪt hænd/ | من اليمين |
| two-sided limit/tuː ˈsaɪdɪd ˈlɪmɪt/ | حد ثنائي الجانب |
أين يتجه الرسم البياني الآن؟
- نسي النقطة الواحدة للحظة — اسأل أين يتجه المنحنى بينما تنزلق $x$ نحو قيمة.
- تابع $f(x)=\dfrac{x^2-1}{x-1}$ كما $x$ يقترب من $1$. أعوض بـ $x=1$ وتحصل على $\tfrac{0}{0}$ — غير معرفة.
- ومع ذلك، تتجه المخرجات بثبات نحو $2$: $f(0.9)=1.9$، $f(0.99)=1.99$، $f(1.01)=2.01$.
- للدالة ثقب عند $x=1$، لكنها واضحة تماماً تستهدف $2$. هذه القيمة المستهدفة هي الحد.
راقب إلى أين يتجه المنحنى
y = ax² + bx + c
اسحب المعاملات واختر إدخالاً $c$ في ذهنك — النهاية هي الارتفاع الذي يقترب منه المنحنى بالقرب من $c$، وليس النقطة نفسها.
كتابتها: رموز النهايات المتناهية
- نكتب $\displaystyle\lim_{x \to c} f(x) = L$ ونقرأها "الحد لـ $f$ من $x$، عندما $x$ يقترب من $c$، يساوي $L$.""
- $c$ هو المدخل الذي نتقارب نحوه؛ $L$ هو المخرج الذي تتجه إليه الدالة.
- الأهم أن $x \to c$ تعني "يقترب من $c$" — أبداً "يساوي $c$". نحن نبقي أنفسنا بعيداً عن النقطة نفسها.
- لمثالنا: $\displaystyle\lim_{x \to 1}\dfrac{x^2-1}{x-1} = 2$، حتى لو لم يكن $f(1)$ موجوداً.
يعني الرمز $\lim_{x \to c} f(x) = L$ أنه كلما اقترب $x$...
$x \to c$ يعني أن $x$ يقترب من $c$ دون لمسها، وأن $f(x)$ يتجه نحو $L$.
قيّم $\displaystyle\lim_{x \to 3}\dfrac{x^2-9}{x-3}$.
أعد التحليل: $\frac{(x-3)(x+3)}{x-3}=x+3$ لـ $x\neq3$، والذي يقترب من $3+3=6$.
القدوم من اليسار واليمين
- يمكنك الاقتراب من $c$ من اتجاهين، وكل منهما له حد أحادي الاتجاه خاص به.
- من الأسفل ($x$ أصغر قليلاً من $c$): الحد الأيسر، $\displaystyle\lim_{x \to c^-} f(x)$.
- من الأعلى ($x$ أكبر قليلاً من $c$): الحد الأيمن، $\displaystyle\lim_{x \to c^+} f(x)$.
- توضع رموز $-$ و$+$ الصغيرة عالياً فوق $c$ لإظهار اتجاه الحركة.
أي تعبير هو النهاية الأحادية اليمنى لـ $f$ عند $c$؟
التراكب $+$ فوق $c$ يعني أن $x$ يقترب من الأعلى — أي من الجهة اليمنى.
يجب أن يتفق الجانبان
- الحد ثنائي الجانب $\displaystyle\lim_{x \to c} f(x)$ موجود فقط عندما يكون كل من الحدين أحادي الجانب موجوداً ومتساويين.
-
$$\lim_{x \to c^-} f(x) = \lim_{x \to c^+} f(x) = L \iff \lim_{x \to c} f(x) = L$$
- إذا كان الجانب الأيسر يؤول إلى قيمة والجانب الأيمن إلى أخرى، فإن الحد ثنائي الجانب غير موجود (DNE).
توجد نهاية ذات اتجاهين عند $c$ فقط عندما تكون كل من النهايات الأحادية اليسرى واليمنى موجودة و____.
يجب أن يتفق كلا الطرفين الأحاديين على قيمة واحدة $L$.
حدد جميع الحالات التي لا توجد فيها $\lim_{x\to c} f(x)$.
تفشل النهاية عندما يختلف الجانبان، أو تكون القيمة غير محدودة، أو تتذبذب. عدم التطابق مع $f(c)$ وحده لا يلغي النهاية — بل يكسر الاتصال فقط.
الحد يتعلق بـالرحلة، وليس بنقطة الوصول. $\lim_{x \to c} f(x)$ يمكن أن يوجد حتى عندما يكون $f(c)$ غير معرف، ويمكن أن يختلف عن $f(c)$ عندما يتم رسم النقطة في مكان ما خارج المنحنى. لا تفترض أبداً $\lim_{x\to c} f(x)=f(c)$ — هذا حالة خاصة (الاتصال)، وليس قاعدة.
إذا كان $f(c)$ غير معرّف، فإن $\lim_{x \to c} f(x)$ لا يمكن أن يوجد.
النهاية تتعلق بالاقتراب، وليس بالنقطة. $\lim_{x\to 1}\frac{x^2-1}{x-1}=2$ حتى لو كان $f(1)$ غير معرّف.
بالنسبة للدالة مجزأة التعريف، $\displaystyle\lim_{x\to 2^-} f(x) = 3$ و$\displaystyle\lim_{x\to 2^+} f(x) = 5$.
- الجانب الأيسر يؤول إلى $3$؛ الجانب الأيمن يؤول إلى $5$.
- هم لا يتفقون، لذا $\displaystyle\lim_{x \to 2} f(x)$ غير موجود — الرسم البياني يقفز عند $x=2$.
- هذا صحيح بغض النظر عن القيمة (إن وجدت) التي يتم رسمها عند $x=2$.
$\displaystyle\lim_{x\to c} f(x)=L$ يعني أن $f(x)$ يؤول نحو $L$ بينما $x$ يقترب من $c$ من كلا الجانبين — دون لمس $c$ أبداً. الحد ثنائي الجانب موجود إذا وفقط إذا كان كل من الحدين الأحاديين اليمين واليسار موجودين ومتساويين. يصف الحد أين تذهب الدالة، وهو ما قد لا يساوي $f(c)$.