تقدير قيم النهايات من الرسوم البيانية
| English | العربية |
|---|---|
| left-hand limit/left hænd ˈlɪmɪt/ | الحد الأيسر |
| right-hand limit/raɪt hænd ˈlɪmɪt/ | الحد الأيمن |
| hole/həʊl/ | ثقب |
| jump/dʒʌmp/ | قفزة |
| unbounded/ʌnˈbaʊndɪd/ | غير محدودة |
| oscillation/ˌɒsɪˈleɪʃn/ | التذبذب |
اقرأ الحد مباشرة من الصورة
- مع وجود رسم بياني، يمكنك غالباً ملاحظة حد بدون أي جبر.
- ضع إصبعك على المنحنى قليلاً يسار $x=c$ وتتبعه نحو $c$: إلى أي ارتفاع تتجه؟
- افعل الشيء نفسه من اليمين. إذا كان كل من الإصبعين يستهدفان نفس الارتفاع،那么这个高度就是极限。
- الحيل: راقب أين المنحنى يتجه، وتجاهل أي نقطة مفردة مرسومة عند $x=c$.
تتبع المنحنى نحو نقطة ما
y = ax² + bx + c
انزلق نحو إدخال من اليسار ومن اليمين — النهاية هي الارتفاع المشترك الذي يقترب منه المنحنى، بغض النظر عما تقوله نقطة فردية.
لقراءة $\lim_{x\to c} f(x)$ من رسم بياني، يجب عليك النظر إلى...
النهاية هي الارتفاع المشترك المقارب من كلا الجانبين — النقطة عند $c$ غير ذات صلة.
الحد الأيسر والأيمن، يُقرأ كل منهما على حدة
- تتبع من اليسار فقط → الحد الأحادي الأيسر $\displaystyle\lim_{x\to c^-}f(x)$.
- تتبع من اليمين فقط → الحد الأحادي الأيمن $\displaystyle\lim_{x\to c^+}f(x)$.
- في الرسم البياني، النقطة المملوءة ● تعني أن النقطة على المنحنى؛ النقطة المفتوحة ○ (ثقب) تعني أنها ليست كذلك.
- الحد يتجاهل ما إذا كانت النقطة مملوءة أو مفتوحة — فهو يهتم فقط بـالاقتريب.
يرتفع الرسم البياني بانتظام، وقبل $x=5$ بقليل، تمر المنحنى عند ارتفاعات $2.9, 2.99, 2.999$. قدّر $\lim_{x\to 5^-} f(x)$.
القيم اليسرى تغلق على $3$، لذا فالنهاية الأحادية اليسرى هي $3$.
عندما لا يوجد نهاية
- ثلاثة أشكال رسومية كلاسيكية تجعل الحد يفشل (DNE):
- قفزة: الجانبان يتتبعان إلى ارتفاعات مختلفة.
- انفجار غير محدود: ينطلق المنحنى نحو $\pm\infty$ بالقرب من تقارب عمودي.
- تذبذب: يتعرج المنحنى بسرعة لا نهائية (مثل $\sin\frac1x$) ولا يستقر أبداً.
إذا اتجه الجانب الأيسر للرسم البياني نحو $2$ والجانب الأيمن نحو $6$، فإن النهاية لا توجد بسبب ____.
اختلاف الارتفاعات الأحادية يعني انقطاعاً قفزياً، لذا فالنهاية ذات الاتجاهين DNE.
من الرسم البياني، حدد جميع الخصائص التي تجعل $\lim_{x\to c} f(x)$ غير موجود.
الانفجارات، القفزات، والتذبذبات تلغي جميعها النهاية. الثقب القابل للإزالة لا يفعل ذلك — فلا يزال كلا الجانبين متفقين.
النقطة عند $c$ هي خدعة
- الارتفاع الذي يستهدفه المنحنى له، $\lim_{x\to c}f(x)$، هو سؤال منفصل عن القيمة المرسومة $f(c)$.
- يمكن للمنحنى أن يؤول بسلاسة نحو $4$ بينما توجد نقطة وحيدة عند $f(c)=1$ — لا يزال الحد هو $4$.
- يمكن أن يكون $f(c)$ غير معرف (ثقب) بينما يوجد الحد.
- لذا أجب دائماً عن سؤالين بشكل منفصل: أين يتجه المنحنى؟ وهل توجد نقطة، وأين؟
إذا أظهر الرسم البياني ثقباً مفتوحاً عند $(2,4)$ ونقطة مملوءة عند $(2,1)$، فإن $\lim_{x\to 2} f(x) = 4$.
يقترب المنحنى من ارتفاع $4$ من كلا الجانبين، لذا فالنهاية هي $4$؛ النقطة المملوءة تمثل فقط $f(2)=1$.
يمر منحنى سلس عبر ارتفاع $7$ عند $x=3$ بدون ثقب أو نقطة أخرى. ما هما $f(3)$ و$\lim_{x\to 3} f(x)$؟
بدون ثقب أو قفزة، يكون المنحنى متصلاً هناك، لذا فالنهاية $= f(3) = 7$.
فخ شائع: قراءة $f(c)$ (النقطة المرسومة) عندما تطلب السؤال $\lim_{x\to c}f(x)$ (الاقتراب). هما مختلفان. إذا رأيت نقطة مملوءة فوق منحنى أملس، فإن النهاية هي ارتفاع المنحنى — وليس النقطة.
من الرسم البياني: بالقرب من $x=2$ يرتفع المنحنى إلى ثقب عند ارتفاع $4$، وتُرسَم نقطة مملوءة عند $(2,\,1)$.
- الحد الأحادي الأيسر: يتجه نحو $4$. الحد الأحادي الأيمن: يتجه نحو $4$.
- كلاهما يتفق، لذا $\displaystyle\lim_{x\to 2}f(x) = 4$.
- لكن $f(2) = 1$ (النقطة المملوءة). نهاية $\neq$ قيمة الدالة هنا.
لقراءة حد من رسم بياني، تتبع المنحنى نحو $c$ من كلا الجانبين واسأل إلى أي ارتفاع تتجه؛ النقطة المرسومة عند $c$ هي خدعة. الحد DNE عندما تعطي الجوانب ارتفاعات مختلفة (قفزة)، أو يكون المنحنى غير محدود، أو يتذبذب بلا نهاية.