مقدمة في التفاضل: هل يمكن أن يحدث التغيير في لحظة؟
| English | العربية |
|---|---|
| average rate of change/ˈævrɪdʒ reɪt ɒv tʃeɪndʒ/ | متوسط معدل التغير |
| slope/sləʊp/ | الميل |
| secant line/ˈsiːkənt laɪn/ | القاطع |
| tangent line/ˈtændʒənt laɪn/ | المماس |
| instantaneous rate of change/ˌɪnstənˈteɪnɪəs reɪt ɒv tʃeɪndʒ/ | المعدل اللحظي للتغير |
| limit/ˈlɪmɪt/ | حد |
| derivative/dɪˈrɪvətɪv/ | المشتقة |
كم السرعة الآن؟
- عداد سرعة السيارة يقرأ $60\ \tfrac{\text{km}}{\text{h}}$ في لحظة واحدة.
- لكن السرعة = المسافة ÷ الزمن — وفي لحظة، لا يمر زمن ولا تُقطع مسافة.
- إذن كيف يمكنك أن يكون لديك سرعة في لحظة واحدة؟
- الإجابة على هذا السؤال هي حيث يبدأ التفاضل والتكامل.
معدل التغير المتوسط
- خلال فترة زمنية، يكون التغير سهلاً: هو التغير الكلي مقسوماً على الوقت المستغرق.
- هذا هو معدل التغير المتوسط للدالة.
- على الرسم البياني، هو الميل للخط المستقيم الواصل بين نقطتين — خط الظاهر.
- مثال: من $x=1$ إلى $x=3$، معدل التغير المتوسط هو $\dfrac{f(3)-f(1)}{3-1}$.
ميل خط القاطع بين نقطتين على منحنى يعطي…
يقترن خط القاطع بنقطتين، لذا فإن ميله هو المعدل المتوسط للتغير على تلك الفترة.
اجعل النقطتين تقتربان من بعضهما
- الآن حرك النقطة الثانية closer وأقرب إلى الأولى.
- يدور خط الظاهر ويقترب من لمس المنحنى عند نقطة واحدة فقط.
- ذلك الخط اللماسي هو خط المماس.
مع انزلاق النقطة الثانية نحو الأولى، يقترب خط القاطع من…
يدور خط القاطع حتى يلمس المنحنى فقط — فهو يقترب من المماس.
معدل التغير اللحظي
- ميل خط المماس هو معدل التغير اللحظي عند تلك النقطة.
- هذا هو قراءة عداد السرعة — المعدل عند لحظة دقيقة واحدة.
- بالنسبة لرسم موقع-زمن، هو السرعة اللحظية.
معدل متوسط أم معدل لحظي؟
حدد ما إذا كانت كل كمية مقاسة على مدى فترة زمنية أو في لحظة واحدة.
ميل المماس هو معدل التغير ____.
المماس يلمس المنحنى عند نقطة واحدة، لذا فإن ميله هو المعدل اللحظي للتغير عند تلك النقطة.
لا يمكنك إيجاد معدل التغير اللحظي بتعويض نقطة واحدة — فهذا يعطي $\tfrac{0}{0}$، وهي قيمة غير معرفة. عليك مراقبة ما يقترب منه معدل التغير المتوسط كلما انكمشت الفترة.
يمكنك إيجاد المعدل اللحظي للتغير عن طريق تعويض نقطة واحدة في صيغة المعدل المتوسط.
هذا يعطي $\tfrac{0}{0}$، وهو غير معرف. يجب عليك حساب النهاية عندما تتقلص الفترة إلى الصفر.
كلمة "تقترب" هذه هي نهاية متناهية
- نحن لا نقسم فعلياً على الصفر؛ نسأل ما القيمة التي تقترب منها الميل.
- تلك القيمة هي نهاية متناهية — الفكرة المحورية للتفاضل والتكامل.
- نهاية معدل التغير المتوسط، كلما انكمشت الفترة لتصبح صفراً، تسمى المشتقة.
- الوحدة الأولى كاملة من المقرر تتعلق بجعل هذه الفكرة دقيقة.
حدد جميع العبارات الصحيحة حول المشتقة عند نقطة.
المشتقة هي النهاية لمعدلات التغير المتوسطة عندما تتقلص الفترة — أي ميل المماس، وبالتالي المعدل اللحظي.
ارتفاع الكرة هو $h(t) = 5t^2$ متر. قدّر سرعتها عند $t=2$ ثانية.
- المعدل المتوسط من $t=2$ إلى $t=2.1$: $\dfrac{h(2.1)-h(2)}{0.1} = \dfrac{22.05-20}{0.1} = 20.5\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}$.
- من $t=2$ إلى $t=2.01$: $\dfrac{20.2005-20}{0.01} = 20.05\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}$.
- تقترب القيم من $20\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}$ — وهذا الحد هو السرعة اللحظية.
ارتفاع كرة هو $h(t)=5t^2$ م. قدر سرعتها اللحظية عند $t=2$ ثانية (بوحدة م/ث).
بتقليص الفترة، يقترب المعدل المتوسط من $20\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}$ — هذه النهاية هي السرعة اللحظية.
معدل التغير المتوسط = ميل خط الظاهر خلال فترة. انكمش الفترة إلى صفر يقترب خط الظاهر من خط المماس،whose slope is the instantaneous rate of change. That limiting value is the derivative.