متغيرات عشوائية متقطعة
| English | العربية |
|---|---|
| discrete random variable/dɪˈskriːt ˈrændəm ˈveərɪəbl/ | متغير عشوائي متقطع |
| expectation/ekspɪkˈteɪʃn/ | التوقع |
| variance/ˈveərɪəns/ | التباين |
| probability distribution/ˌprɒbəˈbɪlɪti ˌdɪstrɪˈbjuːʃn/ | توزيع احتمالي |
| binomial distribution/baɪˈnəʊmɪəl ˌdɪstrɪˈbjuːʃn/ | التوزيع الثنائي |
| trial/ˈtraɪəl/ | محاولة / تجربة |
| geometric distribution/ˌdʒiːəʊˈmetrɪk ˌdɪstrɪˈbjuːʃn/ | التوزيع الهندسي |
النرد المحمل
- يعطي النرد العادل لكل وجه احتمال $\dfrac{1}{6}$. ولكن ماذا لو كان النرد محملاً؟ لا يزال لكل نتيجة احتمال، لكنها لم تعد متساوية.
- المتغير العشوائي المتقطع يخصص احتمالاً لكل نتيجة ممكنة — وهو أساس النمذجة الإحصائية.
المتغيرات العشوائية المتقطعة
- المتغير العشوائي المتقطع $X$ يأخذ قيماً منفصلة، لكل منها احتمال (وتجمعها يساوي 1).
- التوقع (الوسط الحسابي): $E(X) = \sum x\,P(X = x)$.
- التباين: $\text{Var}(X) = \sum x^2\,P(X = x) - \big(E(X)\big)^2$.
مثال محلول. $X$ تأخذ القيم 1، 2، 3 باحتمالات 0.2، 0.5، 0.3. $E(X) = 1(0.2) + 2(0.5) + 3(0.3) = 0.2 + 1.0 + 0.9 = 2.1$. $E(X^2) = 1(0.2) + 4(0.5) + 9(0.3) = 0.2 + 2.0 + 2.7 = 4.9$. $\text{Var}(X) = 4.9 - 2.1^2 = 4.9 - 4.41 = 0.49$.
يجب أن مجموع الاحتمالات يساوي 1. قبل حساب التوقع أو التباين، تحقق دائمًا من $\sum P(X = x) = 1$. إذا لم يكن كذلك، فإن توزيع الاحتمالات غير صالح.
التوزيع الثنائي
X ~ B(n, p)
كل عمود يمثل فرصة k من النجاح. غيّر n و p وشاهد انتقال الوسط الحسابي np.
في جدول توزيع احتمالي، يجب أن مجموع الاحتمالات يساوي 1.
التوزيع الصالح له جميع الاحتمالات تجمعها 1.
X تأخذ القيم 1، 2، 3 مع P = 0.2، 0.5، 0.3. E(X) = ΣxP(X=x). أوجد القيمة.
1(0.2) + 2(0.5) + 3(0.3) = 0.2 + 1.0 + 0.9 = 2.1.
إذا كان E(X) = 2.1 و E(X²) = 4.9، فإن Var(X) = E(X²) − (E(X))². أوجد القيمة.
Var(X) = 4.9 − 2.1² = 4.9 − 4.41 = 0.49.
طابق كل فكرة ثنائية مع نتيجتها.
الثنائي له n trials ثابتة مع p ثابت؛ متوسطه هو np وتباينه هو np(1−p).
التوزيع الثنائي
- ثنائي $X \sim B(n, p)$ — عدد النجاحات في $n$ تجربة مستقلة:
- $P(X = r) = \dbinom{n}{r}p^r(1-p)^{n-r}$
- $E(X) = np$, $\text{Var}(X) = np(1-p)$.
كل عمود يمثل P(X = r) لـ B(10, 0.3)؛ تتوزع الذروة عند الوسط np = 3.
بالنسبة لـ X ~ B(10, 0.3)، ما هي E(X) = np؟
E(X) = np = 10 × 0.3 = 3.
بالنسبة لـ X ~ B(10, 0.3)، ما هي Var(X) = np(1−p)؟
Var(X) = np(1−p) = 10 × 0.3 × 0.7 = 2.1.
التوزيع الهندسي
- هندسي — رقم التجربة التي يحدث فيها أول نجاح:
- $P(X = r) = (1-p)^{r-1}p$
- $E(X) = \dfrac{1}{p}$.
لتوزيع هندسي بـ p = 0.2، E(X) = 1/p. أوجد القيمة.
E(X) = 1/p = 1/0.2 = 5. في المتوسط، يحدث النجاح الأول في المحاولة 5.
مثال محلول — ثنائي
- $X \sim B(10, 0.3)$. أوجد $P(X = 2)$ و$E(X)$.
- $P(X = 2) = \dbinom{10}{2}(0.3)^2(0.7)^8 = 45 \times 0.09 \times 0.0576 = 0.233$.
- $E(X) = np = 10 \times 0.3 = 3$.
لقد فهمت الأمر
- $E(X) = \sum x\,P(X=x)$; $\text{Var}(X) = \sum x^2 P(X=x) - (E(X))^2$
- ثنائي $B(n,p)$: $E = np$، $\text{Var} = np(1-p)$
- هندسي: أول نجاح في تجربة $r$، $E = \dfrac1p$