التوزيع الطبيعي
| English | العربية |
|---|---|
| normal distribution/ˈnɔːml ˌdɪstrɪˈbjuːʃn/ | التوزيع الطبيعي |
| continuous variable/kənˈtɪnjuːəs ˈveərɪəbl/ | متغير مستمر |
| standardize/ˈstændədaɪz/ | تقييس / توحيد |
| approximate/əˈprɒksɪmət/ | تقريب |
| continuity correction/kɒntɪˈnjuːɪti kəˈrekʃn/ | تصحيح الاستمرارية |
المنحنى الذي يحكم العالم
- الأطوال، درجات الذكاء، أخطاء القياس، نتائج الامتحانات — جميعها تتبع نفس المنحنى المتماثل على شكل جرس.
- التوزيع الطبيعي هو أهم توزيع في الإحصاء. أتقنه يمكنك نمذجة أي متغير مستمر تقريبًا.
التوزيع الطبيعي
- التوزيع الطبيعي يُجسّد متغيرًا مستمرًا ذا شكل جرسي متماثل: $X \sim N(\mu, \sigma^2)$.
- الوسط $\mu$ يحدد المركز؛ الانحراف المعياري $\sigma$ يحدد الانتشار.
قاعدة 68-95-99.7. حوالي 68% من القيم تقع ضمن 1 انحرافات معيارية من المتوسط، و95% ضمن 2، و99.7% ضمن 3.
منحنى التوزيع الطبيعي متماثل حول الوسط؛ حوالي 68% من المساحة تقع ضمن انحراف معياري واحد.
منحنى التوزيع الطبيعي
P(Z < z)
المساحة تحت الجرس حتى z هي الاحتمال P(Z < z) — اسحب z لقراءته.
منحنى التوزيع الطبيعي هو:
هو المنحنى المتماثل الشكل الجرس متمركزًا حول الوسط الحسابي μ.
ما النسبة المئوية التقريبية للقيم التي تقع ضمن 1 انحراف معياري من المتوسط؟
قاعدة 68-95-99.7: ~68% ضمن 1σ، ~95% ضمن 2σ، ~99.7% ضمن 3σ.
أكمل صيغة القومة: Z = (X − μ) / ______.
Z = (X − μ)/σ يحول أي متغير طبيعي إلى التوزيع الطبيعي القياسي N(0, 1).
المعايرة
- لاستخدام الجداول، عَمِّق إلى $Z \sim N(0, 1)$:
- ثم $P(X < x) = P\!\left(Z < \dfrac{x - \mu}{\sigma}\right)$، اقرأ من جدول $\Phi$.
لوح غالتون: تسقط الكرات عبر صفوف الدبابيس وتتجمع في توزيع طبيعي على شكل جرس
X ~ N(50, 4) تعني μ = 50، σ = 2. قوّم x = 56: ما هو Z = (x − μ)/σ؟
Z = (56 − 50)/2 = 6/2 = 3.
X ~ N(100, 25) تعني μ = 100، σ = 5. قوّم x = 90: Z = (90 − 100)/5. أوجد Z.
Z = (90 − 100)/5 = −10/5 = −2.
مثال محلول
- $X \sim N(50, 16)$ (إذن $\mu = 50$، $\sigma = 4$). أوجد $P(X < 58)$.
- $Z = \dfrac{58 - 50}{4} = 2$.
- $P(Z < 2) = \Phi(2) = 0.9772$.
عاير قبل استخدام الجداول. جدول $\Phi$ يعمل فقط لـ $Z \sim N(0, 1)$. يجب تحويل $X$ إلى $Z$ أولاً باستخدام $Z = \dfrac{X - \mu}{\sigma}$.
لوح غالتون ينتج التوزيع الطبيعي على شكل جرس
إذا كان Z = 2، فإن Φ(2) = 0.9772. ما هو P(Z < 2) (دقة 4 خانات)؟
P(Z < 2) = Φ(2) = 0.9772 من جدول التوزيع الطبيعي القياسي.
تقريب التوزيع الثنائي
- بالنسبة لـ $n$ الكبيرة، يُقدّر التوزيع الطبيعي بالتوزيع الثنائي: $B(n, p) \approx N(np, np(1-p))$.
- لأنك تحل محل متغير متقطع بمتغير مستمر، طبق تصحيح استمرارية (تعديل بمقدار 0.5).
لـ n كبيرة، تتبع أعمدة التوزيع الثنائي عن كثب المنحنى الطبيعي الناعم N(np, np(1−p))
التوزيع الثنائي B(10, 0.3)؛ متوسطه هو np = 3
- النموذج الطبيعي يُجسّد متغير عشوائي مستمر؛ استخدم المعايرة $Z=(X-\mu)/\sigma$، وكـ تقريب للتوزيع الثنائي.
عندما يقترب التوزيع الطبيعي من الثنائي، يتم تطبيق تصحيح استمرارية 0.5.
استبدال متغير متقطع بمتغير مستمر يتطلب تصحيح استمرارية ±0.5.
لقد فهمت الأمر
- $X \sim N(\mu, \sigma^2)$؛ عاير باستخدام $Z = \dfrac{X - \mu}{\sigma}$
- اقرأ الاحتمالات كمساحات من جدول $\Phi$ لـ $Z \sim N(0,1)$
- المقاربة الطبيعية تقارب التوزيع ذات الحدين لـ $n$ كبيرة (استخدم تصحيح الاستمرارية)