التفاضل (نقي 2)
| English | العربية |
|---|---|
| standard derivatives/ˈstændəd dɪˈrɪvətɪvz/ | المشتقات القياسية |
| quotient rule/ˈkwəʊʃənt ruːl/ | قاعدة القسمة |
| product rule/ˈprɒdʌkt ruːl/ | قاعدة الضرب |
| parametric/ˌpærəˈmetrɪk/ | بارامترية |
| implicit/ɪmˈplɪsɪt/ | ضمنية |
المشتقة التي لا تتغير أبداً
- الدالة $e^x$ فريدة من نوعها: مشتقتها هي نفسها. لا توجد دالة أخرى تمتلك هذه الخاصية.
- هذا يجعل $e^x$ أساس نماذج النمو، والتحلل الإشعاعي، والفائدة المركبة.
المشتقات القياسية
مثال محلول. $y = e^{3x}$. باستخدام قاعدة السلسلة: $\dfrac{dy}{dx} = 3e^{3x}$.
الميل عند نقطة ما
الميل = dy/dx
اسحب النقطة — ميل المماس هو المشتقة، حتى بالنسبة لهذه الدوال القياسية الجديدة.
مشتقة ln x هي 1/x. ما قيمتها عند x = 4؟
d/dx(ln x) = 1/x = 1/4 = 0.25.
مشتقة eˣ هي eˣ. ما قيمتها عند x = 0؟
d/dx(eˣ) = eˣ، و e⁰ = 1.
إذا كانت y = e^(3x)، فإن dy/dx = 3e^(3x). ما قيمة dy/dx عند x = 0؟
عند x = 0: dy/dx = 3e⁰ = 3 × 1 = 3.
قواعد الضرب والقسمة
- قاعدة الضرب: $(uv)' = u'v + uv'$.
- قاعدة القسمة: $\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}$.
قاعدة الضرب: عندما يتغير كل من $u$ و $v$، فإن معدل التغيير الكلي له حدان — واحد لكل دالة تتغير بينما الأخرى ثابتة.
لا تنسَ قاعدة الضرب. مشتقة $uv$ ليست $u'v'$. يجب عليك استخدام $(uv)' = u'v + uv'$. هذا هو أحد أكثر الأخطاء شيوعًا في الاشتقاق.
قاعدة الضرب تنص على أن (uv)′ تساوي:
قاعدة الضرب: (uv)′ = u′v + uv′.
قاعدة القسمة لـ (u/v)′ هي (u′v − uv′)/v².
قاعدة القسمة هي (u′v − uv′)/v² (طرح، لا جمع في البسط).
الاشتقاق البارامترية والضمنية
- البارامترية: $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{dy/dt}{dx/dt}$.
- الضمنية: اشتق كل حد في $x$، وطبق قاعدة السلسلة على $y$، ثم حل للحصول على $\dfrac{dy}{dx}$.
إذا كانت x = t² و y = t³، فإن dy/dx = (dy/dt)/(dx/dt) = 3t²/2t = 3t/2. عند t = 4، ما هي dy/dx؟
عند t = 4: dy/dx = 3(4)/2 = 6.
مثال محلول — قاعدة الضرب
- $y = x^2 \sin x$. ليكن $u = x^2$، $v = \sin x$.
- $u' = 2x$, $v' = \cos x$.
- $\dfrac{dy}{dx} = 2x\sin x + x^2\cos x$.
لقد فهمت الأمر
- تعلم: $\dfrac{d}{dx}e^x = e^x$، $\dfrac{d}{dx}\ln x = \dfrac{1}{x}$، $\dfrac{d}{dx}\sin x = \cos x$، $\dfrac{d}{dx}\cos x = -\sin x$
- قاعدة الضرب $(uv)' = u'v + uv'$؛ قاعدة القسمة $\dfrac{u'v - uv'}{v^2}$
- البارامترية: $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{dy/dt}{dx/dt}$؛ الضمنية: طبق قاعدة السلسلة على $y$