التكامل (نقي 2)

مفردات

English	العربية
integral/ˈɪntɪɡrəl/	التكامل
exponential function/ˌekspəˈnenʃl ˈfʌŋkʃn/	دالة أسية
differential equation/ˌdɪfəˈrenʃl ɪˈkweɪʒn/	معادلة تفاضلية
trapezium rule/trəˈpiːzɪəm ruːl/	قاعدة شبه المنحرف
strip/strɪp/	شريط
estimate/ˈestɪmət/	تقدير
identity/aɪˈdentɪti/	الهوية

المساحة التي لا يمكن لـ eˣ الهروب منها

تكامل $e^x$ هو $e^x$ — نفس الدالة. تجعل هذه الخاصية ذاتية المرجع الدوال الأسية مركزية في المعادلات التفاضلية.
تقنيات التكامل تسمح لك بإيجاد المساحات والحجوم وحلول المشاكل الواقعية.

$$\int e^{ax+b}\,dx = \frac{1}{a}e^{ax+b} + C, \qquad \int \frac{1}{ax+b}\,dx = \frac{1}{a}\ln|ax+b| + C,$$

$$\int \cos(ax+b)\,dx = \frac{1}{a}\sin(ax+b) + C, \qquad \int \sin(ax+b)\,dx = -\frac{1}{a}\cos(ax+b) + C.$$

Example

مثال محلول. $\int e^{3x}\,dx = \dfrac{1}{3}e^{3x} + C$. الـ $\dfrac{1}{3}$ يأتي من قاعدة السلسلة بالعكس.

Watch out

لا تنسَ $\dfrac{1}{a}$. عند التكامل لـ $e^{ax+b}$، يجب أن تقسم على $a$. تكامل $e^{2x}$ هو $\dfrac{1}{2}e^{2x}$، وليس $e^{2x}$.

قاعدة شبه المنحرف تضيف أشرطة مسطحة العرض h لتقدير المساحة

استكشف

المساحة = ∫ f(x) dx

لا يزال التكامل يقيس المساحة — اسحب a و b لتجميع الشريط تحت المنحنى.

تدريب

ما هو ∫ eˣ dx؟

تدريب

ما هو ∫ (1/x) dx؟

تدريب

∫ e^(2x) dx = (1/a)e^(2x) + C. ما هي قيمة a؟

تدريب

∫ cos(3x) dx = (1/3)sin(3x) + C. احسب القيمة من 0 إلى π/6 (2 خانات عشرية).

لتكامل أس لـ $\sin$/$\cos$، استخدم متطابقة لإزالة الأس أولاً.
مثال: $\sin^2 x = \dfrac{1}{2}(1 - \cos 2x)$، لذا $\int \sin^2 x\,dx = \dfrac{x}{2} - \dfrac{\sin 2x}{4} + C$.

$$\int_a^b y\,dx \approx \tfrac{h}{2}\big[y_0 + y_n + 2(y_1 + \cdots + y_{n-1})\big]$$

قاعدة شبه المنحرف: قسم المساحة إلى أشرطة، وقدّر كل منها كشبه منحرف، وجمع مساحاتها.

تدريب

تُقدّر قاعدة شبه المضلع التكامل المحدود عندما لا يمكن إيجاده بدقة.

تدريب

باستخدام قاعدة شبه المضلع مع h = 1، قدّر ∫₁³ x² dx باستخدام قيم y وهي 1، 4، 9.

قدّر $\int_1^4 x^2\,dx$ باستخدام 3 أشرطة ($h = 1$).
قيم $y$: $y_0 = 1$، $y_1 = 4$، $y_2 = 9$، $y_3 = 16$.
$\int \approx \dfrac{1}{2}[1 + 16 + 2(4 + 9)] = \dfrac{1}{2}[17 + 26] = 21.5$.
القيمة الدقيقة: $\left[\dfrac{x^3}{3}\right]_1^4 = \dfrac{64}{3} - \dfrac{1}{3} = 21$. التقدير قريب.
التكامل هو اشتقاق عكسي؛ التكاملات الأصعب تستخدم التكامل بالتعويض.

Key idea

$\int e^{ax+b}dx = \tfrac1a e^{ax+b} + C$; $\int \tfrac{1}{ax+b}dx = \tfrac1a\ln|ax+b| + C$
أزل أسس $\sin$/$\cos$ بـ متطابقة قبل التكامل
قاعدة شبه المنحرف تُقدّر التكامل كمجموع شرائح شبه منحرفة