الدوال اللوغاريتمية والأسية
| English | العربية |
|---|---|
| logarithm/ˈlɒɡərɪθəm/ | لوغاريتم |
| laws of logarithms/lɔːz ɒv ˈlɒɡərɪθəmz/ | قوانين اللوغاريتمات |
| natural logarithm/ˈnætʃərəl ˈlɒɡərɪθəm/ | اللوغاريتم الطبيعي |
| linear form/ˈlɪnɪə fɔːm/ | الصيغة الخطية |
العدد الذي ينمو إلى ما لا نهاية
- حساب بنكي يتضاعف كل 10 سنوات. بعد 100 سنة، نما بعامل قدره $2^{10} = 1024$.
- لكن ماذا لو أردت معرفة: "بعد كم سنة ستكون قيمتها 500 ضعف الأصل؟" هذا سؤال تجيب عليه اللوغاريتمات فقط.
ما هو اللوغاريتم؟
- اللوغاريتم يجيب عن "أي أس؟": إذا $a^x = y$ فإن $x = \log_a y$.
- مثال: $2^x = 32 \Rightarrow x = \log_2 32 = 5$.
مثال محلول. حل $3^x = 81$. بما أن $81 = 3^4$، نحصل على $x = \log_3 81 = 4$.
شدة الزلازل تقاس بمقياس ريختر اللوغاريتمي
النمو الأسي
y = a·bˣ
غيّر القاعدة b: عندما b > 1 ينمو المنحنى، وعندما 0 < b < 1 يتلاشى — ويمر دائماً عبر (0, a).
احسب log₂(8).
2³ = 8، إذن log₂(8) = 3.
حل 2ˣ = 8 بالنسبة لـ x.
2³ = 8، إذن x = 3 (أو x = log₂8 = 3).
قوانين اللوغاريتمات
- قوانين اللوغاريتمات:
- $\log(mn) = \log m + \log n$,
- $\log\dfrac{m}{n} = \log m - \log n$,
- $\log(m^k) = k\log m$.
اللوغاريتمات لا تتوزع على الجمع. $\log(a + b) \neq \log a + \log b$. القوانين تطبق فقط على الضرب والقسمة والأسس — وليس المجموع.
يمكن للسكان النمو بشكل أسي عندما تكون الموارد وفيرة
أي مما يلي قانون صحيح للوغاريثات؟
log(mn) = log m + log n؛ و log(m^k) = k log m.
log(a + b) = log a + log b.
اللوغاريثات لا تتوزع على الجمع. log(a + b) ≠ log a + log b.
e واللوغاريتم الطبيعي
- $e^x$ والـ لوغاريتم الطبيعي $\ln x$ هما معكوسان: $\ln(e^x) = x$ و $e^{\ln x} = x$.
- عندما يكون المجهول في الأس، خذ اللوغاريتم للطرفين.
$e^x$ و $\ln x$ دوال عكسية: منحنياهما انعكاسان حول الخط $y = x$.
ما هي قيمة ln(e⁵)؟
ln و e دالتين عكسيتين، لذا ln(e⁵) = 5.
الشكل الخطي والنمذجة
- الشكل الخطي: $y = Ax^n$ تصبح $\ln y = \ln A + n\ln x$ — خط بميل $n$، وتقاطع $\ln A$.
- هذا يسمح لك بإيجاد قانون القوة من البيانات التجريبية عن طريق رسم $\ln y$ مقابل $\ln x$.
- اللوغاريتمات والأسس (القوى) عمليات عكسية.
إذا كانت y = 5x³، فإن ln y = ln 5 + n ln x. ما هي n؟
ln(5x³) = ln 5 + 3 ln x، إذن n = 3 (الأس يصبح الميل).
لقد فهمت الأمر
- الـ لوغاريتم يجيب على "أي قوة؟"؛ القواعد: $\log mn = \log m + \log n$، $\log m^k = k\log m$
- $e^x$ و $\ln x$ عكسيان؛ خذ اللوغاريتم عندما يكون المجهول قوة
- الشكل الخطي: ارسم $\ln y$ مقابل $\ln x$ → الميل $n$، التقاطع $\ln A$