الجبر (القيمة المطلقة والكثيرات الحدود)
| English | العربية |
|---|---|
| modulus/ˈmɒdjʊləs/ | المقياس |
| remainder theorem/rɪˈmeɪndə ˈθɪərəm/ | نظرية الباقي |
| polynomial/ˌpɒlɪˈnəʊmɪəl/ | كثيرة حدود |
| degree/dɪˈɡriː/ | الدرجة |
| factor theorem/ˈfæktə ˈθɪərəm/ | نظرية العامل |
القيمة المطلقة التي تنقذ الجسور
- المهندسون الذين يصممون الكابلات المعلقة يحتاجون لمعرفة أقصى انحراف عن المثالي — سواء كان فوق أم تحت.
- القيمة المطلقة ( modulus ) تقيس المسافة من الصفر، متجاهلة الاتجاه. تظهر في كل مكان: حدود الخطأ، التسامحات، والمتباينات.
دالة القيمة المطلقة
- القيمة المطلقة $|x|$ هي مقدار الرقم، يتم إزالة الإشارة ($|x| \geq 0$). بيانها على شكل "V".
- قواعد مفيدة:
- $|a| = |b| \Leftrightarrow a^2 = b^2$,
- $|x - a| < b \Leftrightarrow a - b < x < a + b$.
دالة القيمة المطلقة $y = |x - 2|$ تنشئ شكلاً V: كل ما تحت المحور يُعكس فوقه.
مثال محلول. حل $|2x - 3| = 7$. إما $2x - 3 = 7 \Rightarrow x = 5$، أو $2x - 3 = -7 \Rightarrow x = -2$. الحلول: $x = 5$ أو $x = -2$.
دالة القيمة المطلقة
y = a|x − b| + c
تجعل القيمة المطلقة الشكل V. حرك رأسها باستخدام b و c؛ غيّر مدى انحدار أذرعها باستخدام a.
حل |x − 2| < 3. الحل هو −1 < x < ? ما هو الحد العلوي؟
|x − 2| < 3 تعني 2 − 3 < x < 2 + 3، أي −1 < x < 5.
حل |2x − 3| = 7. ما هو الحل الأكبر؟
2x − 3 = 7 → x = 5؛ أو 2x − 3 = −7 → x = −2. الأكبر هو 5.
نظريتي العامل والباقي
- كثير الحدود هو مجموع قوى $x$؛ درجته هي أعلى قوة.
- نظرية الباقي: الباقي عندما $p(x) \div (x - a)$ هو $p(a)$.
- نظرية العامل: $(x - a)$ هو عامل بالضبط عندما $p(a) = 0$.
لا تخلط بين النظريتين. تعطي نظرية الباقي الباقي لأي قاسٍ $(x - a)$. نظرية العامل حالة خاصة: عندما يكون الباقي صفراً، $(x - a)$ هو عامل.
أخذ القيمة المطلقة يطوي الجزء السالب من الخط لأعلى ليصبح V
بحسب مبرهنة الباقي، ما هو الباقي عند قسمة p(x) = x² + 3x + 2 على (x − 1)؟
الباقي = p(1) = 1 + 3 + 2 = 6.
(x − a) هو عامل من عوامل p(x) بالضبط عندما:
مبرهنة العامل: (x − a) هو عامل إذا وفقط إذا كانت p(a) = 0.
مثال محلول — نظرية العامل
- أثبت أن $(x - 2)$ هو عامل لـ $p(x) = x^3 - 5x^2 + 2x + 8$.
- $p(2) = 8 - 20 + 4 + 8 = 0$. بما أن $p(2) = 0$، فإن $(x - 2)$ هو عامل.
- قسمة: $x^3 - 5x^2 + 2x + 8 = (x - 2)(x^2 - 3x - 4) = (x - 2)(x - 4)(x + 1)$.
إشارات f(a) و f(b) المتعاكسة تحبس جذراً بين a و b
إذا كانت p(3) = 0، فإن (x − 3) هو عامل من عوامل p(x).
بحسب مبرهنة العامل، p(a) = 0 تعني أن (x − a) هو عامل.
معطى p(x) = x³ − 6x² + 11x − 6 و p(1) = 0، فكك: p(x) = (x − 1)(x² + bx + c). ما هي c؟
بقسمة x³ − 6x² + 11x − 6 على (x − 1) نحصل على x² − 5x + 6، إذن c = 6.
حل معادلات كثير الحدود
- استخدم نظرية العامل لإيجاد جذر واحد، ثم اقسم لتقليل الدرجة.
- لكثير الحدود من الدرجة الثالثة 3 جذور حقيقية كحد أقصى؛ للرباعية 4 كحد أقصى.
- ارسم البيان للتحقق: عدد تقاطعات $x$-محور يطابق عدد الجذور الحقيقية.
- اشتق الكسر باستخدام قاعدة القسمة.
لقد فهمت الأمر
- $|x|$ يزيل الإشارة؛ $|x - a| < b \Leftrightarrow a - b < x < a + b$
- باقي عندما $p(x) \div (x-a)$ هو $p(a)$
- نظرية العامل: $(x-a)$ هو عامل $\Leftrightarrow p(a) = 0$
- أوجد جذراً واحداً، قسّم، ثم حل المعادلة التربيعية المتبقية