الحركية

تأتي هذه الكميات الخمس في hầu every question kinematics. احفظ الكلمات الدقيقة — يعطي الممتحن درجات للصياغة الدقيقة.

• المسافة — الطول الإجمالي للمسار المقطوع. كمية قياسية.
• الإزاحة — المسافة المستقيمة من نقطة البداية إلى النهاية، مع اتجاه. متجه.
• السرعة — معدل تغير المسافة بالنسبة للزمن. كمية قياسية.
• السرعة المتجهة — معدل تغير الإزاحة بالنسبة للزمن. متجه.
• التسارع — معدل تغير السرعة المتجهة بالنسبة للزمن. متجه.

وحدة السرعة والسرعة المتجهة هي $\text{m s}^{-1}$؛ وحدة التسارع هي $\text{m s}^{-2}$.

عبارتان أخريان يستخدمهما الممتحن: تسارع منتظم يعني تسارعاً ثابتاً (خط مستقيم على بياني السرعة-الزمن)، وتسارع السقوط الحر $g$ هو تسارع جسم يسقط سقوطاً حراً في مجال جاذبية منتظم عندما تكون مقاومة الهواء مهمل (صغيرة بما يكفي للتجاهل).

خطأ شائع: التباطؤ يعني ببساطة تسارعاً في الاتجاه المعاكس للسرعة. ليس كمية منفصلة.

أحياناً تُعطى السرعات بـ $\text{km h}^{-1}$. حوّل قبل الحساب: $85\ \text{km h}^{-1} = 85 \times 1000 / 3600 = 23.6\ \text{m s}^{-1}$.

تأتي درجات كثيرة من قراءة أو رسم بيانيات الحركة، وهي الطرق البيانية التي يسميها المنهج. بيانيين مهمين.

بياني الإزاحة–الزمن

الميل (الانحدار) لبياني الإزاحة–الزمن عند نقطة معينة يعطي السرعة عند تلك اللحظة.

• خط أفقي → الجسم في حالة سكون.
• خط مستقيم مائل → سرعة ثابتة (الميل = السرعة).
• منحنى → سرعة متغيرة. ارسم مماساً عند النقطة وأوجد ميله.

بياني السرعة–الزمن

ميل بياني السرعة–الزمن يعطي التسارع عند تلك اللحظة.

المساحة بين الخط ومحور الزمن تعطي الإزاحة في ذلك الزمن.

• خط أفقي → سرعة ثابتة (تسارع صفري).
• خط مستقيم مائل → تسارع منتظم (تسارع ثابت).
• منحنى → تسارع متغير.
• المساحة فوق محور الزمن تكون إزاحة موجبة؛ المساحة تحته تكون سالبة (تحرك الجسم للخلف).

لإيجاد الإزاحة، قسّم المساحة إلى مثلثات ومستطيلات، أو عِدّ مربعات الشبكة. مساحة المثلث هي $\tfrac{1}{2} \times \text{base} \times \text{height}$؛ مساحة المستطيل هي $\text{base} \times \text{height}$.

مثال محلول. يُظهر الرسم البياني سرعة مصعد. أوجد التسارع في كل مرحلة والمسافة المقطوعة إجمالاً.

• المرحلة أ: الميل $= \dfrac{3.0 - 0}{4.0} = 0.75\ \text{m s}^{-2}$.
• المرحلة ب: الخط أفقي، لذا فإن التسارع يساوي صفراً.
• المرحلة ج: الميل $= \dfrac{0 - 3.0}{2.0} = -1.5\ \text{m s}^{-2}$ (تباطؤ بمقدار $1.5\ \text{m s}^{-2}$).
• المسافة: مثلث أ $= \tfrac{1}{2} \times 4.0 \times 3.0 = 6.0\ \text{m}$، مستطيل ب $= 6.0 \times 3.0 = 18\ \text{m}$، مثلث ج $= \tfrac{1}{2} \times 2.0 \times 3.0 = 3.0\ \text{m}$؛ الإجمالي $27\ \text{m}$.

عندما يكون الرسم البياني منحنى، لا تزال المساحة تمثل الإزاحة: عدّ المربعات تحت المنحنى (يُحسب نصف مربع أو أكثر كمربع واحد) واضرب في قيمة المربع الواحد.

للحركة في خط مستقيم بتسارع منتظم، نستخدم خمسة رموز: السرعة الابتدائية $u$، السرعة النهائية $v$، التسارع $a$، الإزاحة $s$، والزمن $t$. أربع معادلات تربط بينها:

كل معادلة تستخدم أربعة من الرموز الخمسة. لاختيار المعادلة الصحيحة: اكتب ما تعرفه وما تريد، ثم اختر المعادلة التي تحتوي على هذه الأربعة بالضبط.

مثال محلول. تتسارع سيارة بانتظام من $8\ \text{m s}^{-1}$ إلى $20\ \text{m s}^{-1}$ على مسافة $56\ \text{m}$. أوجد تسارعها.

نحن نعرف $u$ و$v$ و$s$ ونريد $a$، لذا نستخدم $v^{2} = u^{2} + 2as$:

أصل معادلات SUVAT

يجب أن تتمكن من استنتاج هذه القيم من تعريفات السرعة والتسارع. تخيل الرسم البياني للسرعة–الزمن للحركة: خط مستقيم من $u$ عند $t = 0$ إلى $v$ عند الزمن $t$.

• $v = u + at$: التسارع هو الميل، $a = (v - u)/t$، لذا $v = u + at$.
• $s = \tfrac{1}{2}(u + v) t$: الإزاحة هي المساحة تحت الخط، شبه منحرف بأضلاع موازية $u$ و$v$ وعرض $t$، لذا $s = \tfrac{1}{2}(u + v)t$.
• $s = ut + \tfrac{1}{2}at^{2}$: ضع $v = u + at$ في المساحة: $s = \tfrac{1}{2}(u + u + at)t = ut + \tfrac{1}{2}at^{2}$.
• $v^{2} = u^{2} + 2as$: من المعادلة الأولى $t = (v - u)/a$؛ ضع هذا في $s = \tfrac{1}{2}(u + v)t$ للحصول على $2as = (v + u)(v - u) = v^{2} - u^{2}$.

السؤال "استنتج" يتطلب هذه الخطوات بالضبط، كل منها يبدأ بتعريف أو معادلة مثبتة مسبقاً، بدون أرقام.

إذا سألت السؤال "أي معادلة يمكن إيجادها باستخدام ميل رسم بياني للسرعة–الزمن فقط؟" فالإجابة هي $v = u + at$ (الميل هو التسارع).

أسئلة "أثبت". عندما يعطي السؤال الإجابة ("أثبت أن الارتفاع هو 3.2 كم")، تكون العلامات للطريقة. اذكر المعادلة، عوض بكل قيمة بوحدتها، وأعطِ النتيجة بدقيقة واحدة أكثر من القيمة المذكورة ($3.24\ \text{km}$، والتي تُقرب إلى $3.2\ \text{km}$). الوصول إلى القيمة المذكورة لا يثبت شيئاً بمفرده.

اختيار الاتجاه الموجب

اختر اتجاهاً موجباً في البداية واستمر عليه. أي شيء يشير في الاتجاه الآخر يحصل على إشارة سالبة. لكرة تُقذف عمودياً لأعلى، إذا كان "لأعلى" موجباً: $u$ موجب، $a = -g$ (الجاذبية تسحب لأسفل)، وعند أعلى نقطة تكون الإزاحة موجبة لكن السرعة صفرية.

عندما يمكن تجاهل مقاومة الهواء، يمتلك الجسم في السقوط الحر تسارعاً ثابتاً $g \approx 9.81\ \text{m s}^{-2}$ نحو الأسفل. هذا ينطبق على كل كتلة.

لكرة تُسقط من السكون وتسقط مسافة $h$:

لكرة تُقذف عمودياً لأعلى بسرعة $u$:

• أقصى ارتفاع: ضع $v = 0$ في $v^{2} = u^{2} - 2gh$، مما يعطي $h = u^{2}/(2g)$.
• الوقت للوصول إلى القمة: ضع $v = 0$ في $v = u - gt$، مما يعطي $t = u/g$.
• الوقت الكلي للسقوط مرة أخرى إلى ارتفاع البداية: $2u/g$ (الحركة متماثلة).

مثال محلول. تُقذف كرة عمودياً لأعلى بسرعة $20\ \text{m s}^{-1}$. أوجد أقصى ارتفاع تصل إليه (اعتمد $g = 9.81\ \text{m s}^{-2}$).

عند أعلى نقطة $v = 0$، لذا من $h = u^{2}/(2g)$:

عندما لا تكون مقاومة الهواء مهملة

المعادلات أعلاه تفترض أن القوة الوحيدة هي الوزن. مع وجود مقاومة الهواء، تكون محصلة القوى المؤثرة على جسم ساقط أقل من وزنه، لذا يكون التسارع أقل من $g$؛ وبسبب نمو مقاومة الهواء مع السرعة، يستمر التسارع في الانخفاض كلما زاد سرعة الجسم. على رسم بياني للسرعة–الزمن، يكون الخط منحنياً، وينخفض ميله نحو الصفر كلما اقترب الجسم من السرعة القصوى (الموضوع 3). بالنسبة لجسم مقذوف، تقلل مقاومة الهواء المدى وتنخفض الارتفاع الأقصى، ولا يعد المسار قطعاً مكافئاً متماثلاً: هبوط الجسم أكثر انحداراً من صعوده. السؤال "اذكر واشرح" يطلب القوة أولاً، ثم تأثيرها على التسارع، ثم تأثيرها على الحركة.

تجربة لإيجاد $g$

طريقة شائعة: إسقاط جسم من السكون، ثم قياس المسافة $h$ التي يسقطها والزمن $t$ الذي يستغرقه. ثم

كرر العملية لعدة ارتفاعات وارسم $h$ مقابل $t^{2}$. ميل أفضل خط مستقيم هو $g/2$، لذا $g$ يساوي ضعف الميل. تكرار القياس يقلل الأخطاء العشوائية. يستخدم المؤقت الإلكتروني – مع أبواب ضوئية أو مفتاح يصطدم به الكرة – لإزالة خطأ وقت الاستجابة.

عندما يتحرك جسم بسرعة ثابتة في اتجاه واحد (مثلاً أفقي) ويتسارع في اتجاه عمودي عليه (مثلاً عمودي، تحت تأثير الجاذبية)، فإن الحركتين لا تؤثران على بعضهما البعض. تعامل مع كل اتجاه على حدة، باستخدام معادلة SUVAT الخاصة به.

الرمي الأفقي

جُرم يُرمى أفقيًا بسرعة $u_{\text{H}}$ من ارتفاع $h$، مع إهمال مقاومة الهواء:

• أفقي: سرعة ثابتة $u_{\text{H}}$. بعد زمن $t$، تكون المسافة الأفقية $x = u_{\text{H}} t$.
• عمودي: يبدأ من السكون ويتسارع لأسفل بسرعة $g$. بعد زمن $t$، سقط مسافة $y = \tfrac{1}{2} g t^{2}$ ووصلت سرعته العمودية إلى $v_{\text{V}} = g t$.

الزمن اللازم للوصول إلى الأرض يعتمد فقط على الارتفاع $h$، وليس على $u_{\text{H}}$. حل $h = \tfrac{1}{2} g t^{2}$ بالنسبة لـ $t$؛ ثم يكون المدى الأفقي المسافة $u_{\text{H}} t$.

مثال محلول. تُرمى كرة أفقيًا بسرعة $15\ \text{m s}^{-1}$ من أعلى جرف ارتفاعه $20\ \text{m}$. أوجد الزمن المستغرق للهبوط والمسافة من قاعدة الجرف التي تهبط فيها (استخدم $g = 9.81\ \text{m s}^{-2}$).

تعطي الحركة العمودية الزمن: من $h = \tfrac{1}{2}g t^{2}$،

ثم تعطي الحركة الأفقية المدى: $x = u_{\text{H}} t = 15 \times 2.0 \approx 30\ \text{m}.$

الرسم البياني لسرعة المحور الأفقي هو خط أفقي عند $u_{\text{H}}$. الرسم البياني لسرعة المحور العمودي هو خط مستقيم من نقطة الأصل بميل $g$.

مقارنة جسمين. إذا سُقط الجسم A وسُقط الجسم B أفقيًا من نفس الارتفاع وفي نفس اللحظة، يصلان إلى الأرض في نفس الوقت: حركتهما العمودية متطابقة. أما إذا رُمي B بتركيبة رأسية، فإنه يستغرق وقتًا أطول، لأنه يجب أن يرتفع أولاً ويعود إلى الارتفاع الأصلي قبل أن يسقط نفس المسافة. ما زالت سرعته عند الهبوط تُحسب من الطاقة: الطاقة الحركية المكتسبة تساوي الطاقة الكامنة المفقودة، بغض النظر عن اتجاه الرمي، لذا فإن كرة تُطلق بأي زاوية بنفس السرعة ومن نفس الارتفاع تهبط بنفس السرعة (الموضوع 5).

مقذوف بزاوية

مقذوف يُرمى بسرعة $u$ بزاوية $\theta$ فوق الأفقي:

• المركبة الأفقية للسرعة الابتدائية: $u_{\text{H}} = u \cos\theta$ (تبقى ثابتة طوال الطيران).
• المركبة العمودية للسرعة الابتدائية: $u_{\text{V}} = u \sin\theta$ (تقل، تصبح صفرًا في الأعلى، ثم تزداد لأسفل).

في أعلى نقطة، $v_{\text{V}} = 0$، لكن $v_{\text{H}}$ لا يزال $u\cos\theta$. الزمن للوصول إلى الأعلى هو $t_{\text{up}} = u\sin\theta / g$؛ إجمالي زمن الطيران (العودة إلى ارتفاع البداية) هو $2t_{\text{up}}$.

رسم بياني للسرعات. غالبًا ما يطلب الممتحنون منك رسم $v_{\text{H}}$ و$v_{\text{V}}$ مقابل الزمن على نفس المحاور، مع اعتبار الاتجاه لأعلى موجبًا. المركبة الأفقية هي خط أفقي عند $u\cos\theta$ طوال飞行. المركبة العمودية هي خط مستقيم بميل $-g$: تبدأ عند $+u\sin\theta$، تتقاطع مع الصفر في قمة الطيران، وتصل إلى $-u\sin\theta$ عند الهبوط عند ارتفاع البداية. عيّن كل خط، وعلّم الأوقات التي يبدأ فيها الخط وينتهي، واجعل نقطة التقاطع تقع تمامًا عند $t_{\text{up}}$.

مثال محلول. تغادر كرة الأرض بسرعة $18\ \text{m s}^{-1}$ بزاوية $60°$ فوق الأفقي. أثبت أنها تصل إلى أقصى ارتفاع لها عند $t = 1.6\ \text{s}$.

$u_{\text{V}} = 18 \sin 60° = 15.6\ \text{m s}^{-1}$. في الأعلى $v_{\text{V}} = 0$، لذا من $v = u + at$ مع $a = -9.81\ \text{m s}^{-2}$: $t = 15.6 / 9.81 = 1.59\ \text{s} \approx 1.6\ \text{s}$.

الكرة المرتدة

عندما ترتد كرة، يكون رسمها البياني للسرعة-الزمن مجموعة من الخطوط المستقيمة المائلة (تسارع $g$ ثابت) مع قفزة مفاجئة عند كل ارتداد (تنعكس السرعة وتتناقص إذا فقدت بعض الطاقة). اجمع الأزمنة والمسافات عبر الارتدادات.

اقرأ هذا الرسم البياني بعناية: ميل كل خط مائل هو نفسه $g$؛ يكون الكرة في أعلى نقطة لها حيثما يعبر الخط محور الزمن؛ ويأتي ارتفاع كل قفزة من مساحة المثلث أعلاه (أو أسفله) المحور لذلك الطيران.

عندما يتحرك جسمان على طول نفس الخط بطرق مختلفة، اكتب معادلة إزاحة لكل منهما. استخدم نفس وقت البداية ونفس الاتجاه الموجب. ثم اجعل الإزاحتين متساويتين (أو اجعل الفرق بينهما مساويًا لمسافة محددة).

لقطار بضائع بسرعة ثابتة $u_{\text{G}}$ وقطار سريع يبدأ من السكون بتسارع $a$، وكلاهما يمر عبر نفس النقطة عند $t = 0$:

يصبحان على نفس المستوى مرة أخرى عندما $s_{\text{G}} = s_{\text{E}}$، مما يعطي $t = 2 u_{\text{G}} / a$.

1. ارسم مخططًا وعلام الاتجاه الموجب.
2. عدّد رموز SUVAT مع قيمها المعروفة والمجهولة، بما في ذلك الإشارات.
3. اختر معادلة SUVAT التي تحتوي على الرموز الأربعة لديك بالضبط، بالإضافة إلى الرمز الذي تريده.
4. لحركة المقذوفات، قسّمها إلى مسائل SUVAT أفقية وعمودية، مرتبطة فقط بالزمن $t$.
5. تحقق دائمًا من وحدات إجابتك، وأن حجمها منطقي.

تُصنّف أسئلة التعريف بناءً على صياغة ثابتة. احفظ هذه التعريفات بدقة، وقدم إجابة واحدة فقط.

• استخدم معادلات SUVAT فقط لـالتسارع الثابت؛ عدّد $s, u, v, a, t$ واختر المعادلة التي ينقصها المجهول الخاص بك.
• اختر اتجاهًا واحدًا作为 موجب واحافظ على اتساق الإشارات (عادةً $g = -9.81\ \text{m s}^{-2}$).
• على الرسم البياني للسرعة–الزمن، يمثل الميل $=$ التسارع والمساحة $=$ الإزاحة.
• بالنسبة للمقذوفات، تعامل مع الحركة الأفقية (سرعة ثابتة) والعمودية ($a = g$) بشكل منفصل، مرتبطتين بنفس الزمن.

أخطاء شائعة

• قول إن الكرة الأثقل تصطدم بالأرض أولاً أو أسرع عند إهمال مقاومة الهواء. كلاهما يسقط بتسارع متساوي ويهبط بنفس السرعة.
• حساب ميل رسم بياني $v$–$t$ عندما تريد المسألة المساحة، أو المساحة عندما تريد الميل. الميل هو التسارع؛ المساحة هي الإزاحة.
• رسم منحنى على رسم بياني $v$–$t$ لجسم يخضع لتسارع ثابت. التسارع الثابت هو خط مستقيم؛ يتغير إشارة $v$ فقط عند القفزة.
• استخدام $g = +9.81$ لكرارة تُقذف لأعلى مع اعتبار "لأعلى" موجباً. بمجرد أن يكون لأعلى موجباً، فإن $a = -9.81\ \text{m s}^{-2}$ للطيران بأكمله، بما في ذلك أثناء الهبوط.
• استخدام معادلة SUVAT عندما يتغير التسارع (مقاومة الهواء، رسم بياني منحني). حينها تعمل طرق الرسم البياني فقط.