A-Level Mathematics · A-Level الرياضيات · Topic 1 · الموضوع 1
28:42
رياضيات بحتة 1
انظر إلى جسر معلّق عظيم. كابلها الضخم ليس شكلاً عشوائياً — بل يتدلى في قطع مكافئ مثالي، منحنٍ يمكنك كتابته بمعادلة واحدة. الـ…
English narration · English + 中文 subtitles burned in · سرد باللغة الإنجليزية · ترجمة مدمجة بالإنجليزية + الصينية
This handout covers Topic 1: Pure Mathematics 纯数学 1. It is the algebra 代数 and calculus 微积分 core of the course. Each ## section is one syllabus subtopic.
يتناول هذا الملف الموضوع 1: الرياضيات البحتة 1. إنه الجوهر الجبري والتفاضلي للتخصص. كل قسم ## هو موضوع فرعي في المنهج الدراسي.
| Candidates should be able to: | Notes and examples |
|---|---|
| carry out the process of completing the square for a quadratic polynomial $ax^2 + bx + c$ and use a completed square form | e.g. to locate the vertex of the graph of $y = ax^2 + bx + c$ or to sketch the graph |
| find the discriminant of a quadratic polynomial $ax^2 + bx + c$ and use the discriminant | e.g. to determine the number of real roots of the equation $ax^2 + bx + c = 0$. Knowledge of the term ‘repeated root’ is included. |
| solve quadratic equations, and quadratic inequalities, in one unknown | By factorising, completing the square and using the formula. |
| solve by substitution a pair of simultaneous equations of which one is linear and one is quadratic | e.g. $x + y + 1 = 0$ and $x^2 + y^2 = 25$, $2x + 3y = 7$ and $3x^2 = 4 + 4xy$. |
| recognise and solve equations in $x$ which are quadratic in some function of $x$. | e.g. $x^4 - 5x^2 + 4 = 0$, $6x + \sqrt{x} - 1 = 0$, $\tan^2 x = 1 + \tan x$. |
| يجب أن يكون المرشحون قادرين على: | ملاحظات وأمثلة |
|---|---|
| إجراء عملية إكمال المربع لكثير حدود تربيعي $ax^2 + bx + c$ واستخدام صورة المربع المكتمل | مثلاً لتحديد رأس منحنى $y = ax^2 + bx + c$ أو لرسم المنحنى |
| إيجاد المميز لكثير حدود تربيعي $ax^2 + bx + c$ واستخدام المميز | مثلاً لتحديد عدد الجذور الحقيقية للمعادلة $ax^2 + bx + c = 0$. يُشمل المعرفة بمصطلح 'الجذر المكرر'. |
| حل المعادلات التربيعية والمتباينات التربيعية في مجهول واحد | عن طريق التحليل إلى العوامل، وإكمال المربع، واستخدام الصيغة. |
| حل زوج من المعادلات المتزامنة بالتعويض، أحدهما خطي والآخر تربيعي | مثلاً $x + y + 1 = 0$ و$x^2 + y^2 = 25$، $2x + 3y = 7$ و$3x^2 = 4 + 4xy$. |
| التعرف على المعادلات في $x$ التي تكون تربيعية بالنسبة لدالة ما من $x$ وحلها. | مثلاً $x^4 - 5x^2 + 4 = 0$، $6x + \sqrt{x} - 1 = 0$، $\tan^2 x = 1 + \tan x$. |
Source: Cambridge International syllabus · المصدر: منهج كامبريدج الدولي
A quadratic 二次式 is an expression of the form $ax^2 + bx + c$, where $a \neq 0$. The letters $a$, $b$, $c$ are the coefficients 系数 (the fixed numbers). Much of this section is about solving the equation $ax^2 + bx + c = 0$.
To complete the square 配方 means to write the quadratic in the form
Worked example. Write $9x^2 - 36x + 8$ in the form $p(x + q)^2 + r$.
Take the factor $9$ out of the first two terms, then complete the square inside:
The discriminant 判别式 of $ax^2 + bx + c$ is
| Discriminant | Roots |
|---|---|
| $b^2 - 4ac > 0$ | two distinct 相异 real roots |
| $b^2 - 4ac = 0$ | one repeated real root |
| $b^2 - 4ac < 0$ | no real roots |
Worked example. Find the values of the constant $k$ for which $3kx^2 + (k + 8)x + 3 = 0$ has two distinct real roots.
Here $a = 3k$, $b = k + 8$, $c = 3$. For two distinct real roots you need $b^2 - 4ac > 0$:
To solve a quadratic equation 二次方程, factorise, complete the square, or use the formula
To solve a pair of simultaneous equations 联立方程 where one is linear and one is quadratic, use substitution 代入: rearrange the linear equation for one letter, then put that into the quadratic. This gives a single quadratic to solve.
Some equations are quadratic in some function of $x$. For example $x^4 - 5x^2 + 4 = 0$ is quadratic in $x^2$: let $u = x^2$, solve $u^2 - 5u + 4 = 0$, then go back to $x$. You will use this idea again in trigonometry.
التربيعية هي تعبير من الشكل $ax^2 + bx + c$، حيث $a \neq 0$. الأحرف $a$، $b$، $c$ هي المعاملات (الأرقام الثابتة). جزء كبير من هذا القسم يتعلق بحل المعادلة $ax^2 + bx + c = 0$.
يعني إكمال المربع كتابة التربيعية على الشكل
مثال محلول. اكتب $9x^2 - 36x + 8$ على الشكل $p(x + q)^2 + r$.
خذ العامل $9$ خارج الحدين الأولين، ثم أكمل المربع داخل القوسين:
المميز لـ $ax^2 + bx + c$ هو
| المميز | الجذور |
|---|---|
| $b^2 - 4ac > 0$ | جذران حقيقيان مختلفان |
| $b^2 - 4ac = 0$ | جذر حقيقي واحد مكرر |
| $b^2 - 4ac < 0$ | لا جذور حقيقية |
مثال محلول. أوجد قيم الثابت $k$ بحيث يكون $3kx^2 + (k + 8)x + 3 = 0$ له جذران حقيقيان مختلفان.
هنا $a = 3k$، $b = k + 8$، $c = 3$. لجذران حقيقيان مختلفان تحتاج $b^2 - 4ac > 0$:
لحل معادلة تربيعية، قم بتحليلها، أو أكمل المربع، أو استخدم الصيغة
لحل زوج من المعادلات المتزامنة حيث واحدة خطية والأخرى تربيعية، استخدم التعويض: أعد ترتيب المعادلة الخطية لإحدى الحروف، ثم ضع ذلك في التربيعية. هذا يعطي معادلة تربيعية واحدة للحل.
بعض المعادلات هي تربيعية في بعض دوال $x$. على سبيل المثال $x^4 - 5x^2 + 4 = 0$ هي تربيعية في $x^2$: دع $u = x^2$، حل $u^2 - 5u + 4 = 0$، ثم عد إلى $x$. ستستخدم هذه الفكرة مجددًا في حساب المثلثات.
y = ax² + bx + c
Drag a, b and c. Watch the vertex, the line of symmetry and the roots (where it cuts the x-axis) move as the coefficients change. · اسحب a وb وc. راقب حركة الرأس، وخط التماثل والجذور (حيث يقطع محور x) مع تغير المعاملات.
| English | العربية |
|---|---|
| Pure Mathematics/pjʊə ˌmæθɪˈmætɪks/ | الرياضيات البحتة |
| quadratic/kwɒˈdrætɪk/ | تربيعي |
| complete the square/kəmˈpliːt ðə skweə/ | إكمال المربع |
| vertex/ˈvɜːteks/ | القمة (الرأس) |
| discriminant/dɪˈskrɪmɪnənt/ | المميز |
| real roots/rɪəl ruːts/ | الجذور الحقيقية |
| distinct/dɪˈstɪŋkt/ | متميزة |
| quadratic equation/kwɒˈdrætɪk ɪˈkweɪʒn/ | معادلة تربيعية |
| quadratic inequality/kwɒˈdrætɪk ɪniːˈkwɒlɪti/ | متباينة تربيعية |
| simultaneous equations/ˌsɪməlˈteɪnɪəs ɪˈkweɪʒnz/ | معادلات متزامنة |
| substitution/ˌsʌbstɪˈtjuːʃn/ | استبدال |
| parabola/pəˈræbələ/ | قطع مكافئ |
| Candidates should be able to: | Notes and examples |
|---|---|
| understand the terms function, domain, range, one-one function, inverse function and composition of functions | |
| identify the range of a given function in simple cases, and find the composition of two given functions | e.g. range of $f : x \mapsto \frac{1}{x}$ for $x \geqslant 1$ and range of $g : x \mapsto x^2 + 1$ for $x \in \mathbb{R}$. Including the condition that a composite function $gf$ can only be formed when the range of $f$ is within the domain of $g$. |
| determine whether or not a given function is one-one, and find the inverse of a one-one function in simple cases | e.g. finding the inverse of $h : x \mapsto (2x + 3)^2 - 4$ for $x < -\frac{3}{2}$. |
| illustrate in graphical terms the relation between a one-one function and its inverse | Sketches should include an indication of the mirror line $y = x$. |
| understand and use the transformations of the graph of $y = f(x)$ given by $y = f(x) + a$, $y = f(x + a)$, $y = af(x)$, $y = f(ax)$ and simple combinations of these. | Including use of the terms ‘translation’, ‘reflection’ and ‘stretch’ in describing transformations. Questions may involve algebraic or trigonometric functions, or other graphs with given features. |
| يجب أن يكون المرشحون قادرين على: | ملاحظات وأمثلة |
|---|---|
| فهم مصطلحات الدالة، المجال، النطاق، الدالة الأحادية One-one، الدالة العكسية وتركيب الدوال | |
| تحديد النطاق لدالة معطاة في الحالات البسيطة، وإيجاد تركيب دالتين معطاتين | مثلاً نطاق $f : x \mapsto \frac{1}{x}$ لـ $x \geqslant 1$ ونطاق $g : x \mapsto x^2 + 1$ لـ $x \in \mathbb{R}$. شمل الشرط الذي ينص على أنه لا يمكن تكوين دالة مركبة $gf$ إلا عندما يكون نطاق $f$ ضمن مجال $g$. |
| تحديد ما إذا كانت الدالة المعطاة أحادية One-one أم لا، وإيجاد العكس لدالة أحادية One-one في الحالات البسيطة | مثلاً إيجاد العكس لـ $h : x \mapsto (2x + 3)^2 - 4$ لـ $x < -\frac{3}{2}$. |
| توضيح العلاقة بيانياً بين الدالة الأحادية One-one وعكسها | يجب أن تشمل الرسومات تلميحا لخط الانعكاس $y = x$. |
| فهم واستخدام التحويلات لمنحنى $y = f(x)$ المعطاة بواسطة $y = f(x) + a$، $y = f(x + a)$، $y = af(x)$، $y = f(ax)$ والمجموعات البسيطة منها. | شمل استخدام المصطلحات 'الإزاحة' و'الانعكاس' و'التمدد' في وصف التحويلات. قد تتضمن الأسئلة دوال جبرية أو مثلثية، أو منحنيات أخرى بخصائص معطاة. |
Source: Cambridge International syllabus · المصدر: منهج كامبريدج الدولي
A function 函数 is a rule that sends each input to exactly one output. Write it as $f(x)$. The composition of functions 复合函数 $fg(x)$ means apply $g$ first, then apply $f$ to the result.
A function is one-one 一一对应 if different inputs always give different outputs. (No output is repeated.) Only a one-one function has an inverse function 反函数 $f^{-1}$, which reverses the rule.
The composition 复合 of two functions means doing one after the other. $fg(x)$ means "do $g$ first, then $f$": $fg(x) = f(g(x))$. The composite function $fg$ exists only when the range of $g$ lies inside the domain of $f$.
To find $f^{-1}$: write $y = f(x)$, make $x$ the subject, then swap letters.
Worked example. The function $f(x) = (x + 3)^2 - 12$ is defined for $x \geqslant 0$. Find $f^{-1}(x)$.
Write $y = (x + 3)^2 - 12$ and solve for $x$:
The graph of $y = f^{-1}(x)$ is the reflection 反射 of $y = f(x)$ in the line $y = x$.
You should know these transformations 变换 of $y = f(x)$:
| New equation | Effect on the graph |
|---|---|
| $y = f(x) + a$ | translation 平移 up by $a$ |
| $y = f(x + a)$ | translation left by $a$ |
| $y = a\,f(x)$ | stretch 伸缩 in the $y$-direction, scale factor $a$ |
| $y = f(ax)$ | stretch in the $x$-direction, scale factor $\tfrac{1}{a}$ |
When two transformations are combined, the order can matter. State each one fully (type, direction, and amount).
الدالة function هي قاعدة ترسل كل مدخل إلى مخرج واحد بالضبط. اكتبها كـ $f(x)$. تركيب الدوال $fg(x)$ يعني تطبيق $g$ أولاً، ثم تطبيق $f$ على النتيجة.
الدالة تكون واحدة لواحد إذا كانت المدخلات المختلفة تعطي دائماً نواتج مختلفة. (لا يتم تكرار أي ناتج.) فقط الدالة الواحدة لواحد لها دالة عكسية $f^{-1}$، والتي تعكس القاعدة.
تركيب دالتين يعني القيام بإحداهما بعد الأخرى. $fg(x)$ تعني "افعل $g$ أولاً، ثم $f$": $fg(x) = f(g(x))$. توجد الدالة المركبة $fg$ فقط عندما يكون مدى $g$ داخل مجال $f$.
لإيجاد $f^{-1}$: اكتب $y = f(x)$، اجعل $x$ موضوع المعادلة، ثم استبدل الأحرف.
مثال محلول. الدالة $f(x) = (x + 3)^2 - 12$ معرفة لـ $x \geqslant 0$. أوجد $f^{-1}(x)$.
اكتب $y = (x + 3)^2 - 12$ وحل من أجل $x$:
الرسم البياني لـ $y = f^{-1}(x)$ هو انعكاس لـ $y = f(x)$ في الخط $y = x$.
يجب أن تعرف هذه التحويلات لـ $y = f(x)$:
| معادلة جديدة | التأثير على الرسم البياني |
|---|---|
| $y = f(x) + a$ | إزاحة لأعلى بمقدار $a$ |
| $y = f(x + a)$ | إزاحة لليسار بمقدار $a$ |
| $y = a\,f(x)$ | تمدّد في اتجاه $y$، معامل القياس $a$ |
| $y = f(ax)$ | تمدد في اتجاه $x$، عامل مقياس $\tfrac{1}{a}$ |
عند دمج تحويلين، قد يهم الترتيب. حدد كل تحويل بالكامل (النوع، الاتجاه، والكمية).
y = ax³ + bx² + cx + d
A function turns each input into exactly one output — drag the coefficients and watch where the curve rises and falls. · تحول الدالة كل مدخل إلى خرج واحد بالضبط — اسحب المعاملات ولاحظ أين يرتفع المنحنى وينخفض.
| English | العربية |
|---|---|
| function/ˈfʌŋkʃn/ | دالة |
| composition of functions/ˌkɒmpəˈzɪʃn ɒv ˈfʌŋkʃnz/ | تركيب الدوال |
| domain/dəˈmeɪn/ | المجال |
| range/reɪndʒ/ | المدى |
| one-one/wʌn wʌn/ | واحد لواحد |
| inverse function/ɪnˈvɜːs ˈfʌŋkʃn/ | الدالة العكسية |
| composition/ˌkɒmpəˈzɪʃn/ | التركيب |
| reflection/rɪˈflekʃn/ | انعكاس |
| transformations/trænsfɔːˈmeɪʃnz/ | التحويلات الهندسية |
| translation/trænˈsleɪʃn/ | الترجمة |
| stretch/stretʃ/ | تمدد |
| Coordinate geometry/kəʊˈɔːdɪnət dʒiˈɒmətri/ | هندسة إحداثيات |
| Candidates should be able to: | Notes and examples |
|---|---|
| find the equation of a straight line given sufficient information | e.g. given two points, or one point and the gradient. |
| interpret and use any of the forms $y = mx + c$, $y - y_1 = m(x - x_1)$, $ax + by + c = 0$ in solving problems | Including calculations of distances, gradients, midpoints, points of intersection and use of the relationship between the gradients of parallel and perpendicular lines. |
| understand that the equation $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$ represents the circle with centre $(a, b)$ and radius $r$ | Including use of the expanded form $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$. |
| use algebraic methods to solve problems involving lines and circles | Including use of elementary geometrical properties of circles, e.g. tangent perpendicular to radius, angle in a semicircle, symmetry. Implicit differentiation is not included. |
| understand the relationship between a graph and its associated algebraic equation, and use the relationship between points of intersection of graphs and solutions of equations. | e.g. to determine the set of values of $k$ for which the line $y = x + k$ intersects, touches or does not meet a quadratic curve. |
| يجب أن يكون المرشحون قادرين على: | ملاحظات وأمثلة |
|---|---|
| إيجاد معادلة الخط المستقيم عند توفر معلومات كافية | مثلاً عند إعطاء نقطتين، أو نقطة واحدة وميل. |
| تفسير واستخدام أي من الصيغ $y = mx + c$، $y - y_1 = m(x - x_1)$، $ax + by + c = 0$ في حل المسائل | شمل حسابات المسافات، الميل، نقاط المنتصف، نقاط التقاطع واستخدام العلاقة بين الميل لـالخطوط المتوازية والخطوط العمودية. |
| فهم أن المعادلة $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$ تمثل الدائرة ذات المركز $(a, b)$ ونصف القطر $r$ | شمل استخدام الصورة الموسعة $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$. |
| استخدام الطرق الجبرية لحل المسائل الخطوط والدوائر | شمل استخدام الخصائص الهندسية الأولية للدوائر، مثلاً المماس عمودي على نصف القطر، الزاوية في نصف الدائرة، التناظر. لا يُشمل الاشتقاق الضمني. |
| فهم العلاقة بين المنحنى ومعادلته الجبرية المرتبطة بها، واستخدام العلاقة بين نقاط تقاطع المنحنيات وحلول المعادلات. | مثلاً لتحديد مجموعة قيم $k$ التي تجعل الخط $y = x + k$ يقطع المنحنى التربيعي أو يلمسه أو لا يلقاه. |
Source: Cambridge International syllabus · المصدر: منهج كامبريدج الدولي
Coordinate geometry 坐标几何 studies lines and circles using their equations.
The gradient 斜率 (steepness) of the line joining $(x_1, y_1)$ and $(x_2, y_2)$ is
The circle 圆 with centre 圆心 $(a, b)$ and radius 半径 $r$ has equation
A tangent 切线 to a circle touches it at one point and is perpendicular to the radius at that point. This right-angle fact solves most circle problems.
Worked example. The points $P(1, 1)$ and $Q(7, 11)$ are the ends of a diameter 直径 of a circle. Find the equation of the circle.
The centre is the midpoint of $PQ$:
الهندسة الإحداثية تدرس المستودارات والدوائر باستخدام معادلاتها.
الميل (الانحدار) للمستودار الواصل بين $(x_1, y_1)$ و $(x_2, y_2)$ هو
الدائرة ذات المركز $(a, b)$ ونصف القطر $r$ لها معادلة
المماس للدائرة يلمسها عند نقطة واحدة ويكون عمودياً على نصف القطر عند تلك النقطة. هذه حقيقة الزاوية القائمة تحل معظم مسائل الدوائر.
مثال محلول. النقطتان $P(1, 1)$ و $Q(7, 11)$ هما طرفا قطر لدائرة. أوجد معادلة الدائرة.
المركز هو نقطة منتصف $PQ$:
y = ax + b
The gradient a tilts the line; the intercept b slides it up and down. · الميل a يميل الخط؛ المقطع b ينزعه للأعلى والأسفل.
| English | العربية |
|---|---|
| circle/ˈsɜːkl/ | دائرة |
| centre/ˈsentə/ | المركز |
| radius/ˈreɪdɪəs/ | نصف القطر |
| tangent/ˈtændʒənt/ | القطري |
| diameter/daɪˈæmɪtə/ | القطر |
| Candidates should be able to: | Notes and examples |
|---|---|
| understand the definition of a radian, and use the relationship between radians and degrees | |
| use the formulae $s = r\theta$ and $A = \frac{1}{2}r^2\theta$ in solving problems concerning the arc length and sector area of a circle. | Including calculation of lengths and angles in triangles and areas of triangles. |
| يجب أن يكون المرشحون قادرين على: | ملاحظات وأمثلة |
|---|---|
| فهم تعريف الراديان، واستخدام العلاقة بين الراديان والدرجات | |
| استخدام الصيغ $s = r\theta$ و $A = \frac{1}{2}r^2\theta$ في حل المسائل المتعلقة بـ طول القوس و مساحة القطاع للدائرة. | بما في ذلك حساب الأطوال والزوايا في المثلثات ومساحاتها. |
Source: Cambridge International syllabus · المصدر: منهج كامبريدج الدولي
A radian 弧度 is another way to measure angles. One radian is the angle at the centre of a circle that cuts off an arc 弧 equal in length to the radius. The link between radians and degrees 度 is
For a sector 扇形 with radius $r$ and angle $\theta$ in radians:
Worked example. A sector has centre $O$ and the angle at $O$ is $\tfrac{2}{3}\pi$ radians. Show that the segment cut off by the chord has area about $0.614 r^2$.
الراديان هو طريقة أخرى لقياس الزوايا. الراديان الواحد هو الزاوية في مركز الدائرة التي تقطع قوساً طوله يساوي نصف القطر. العلاقة بين الراديان والدرجات هي
بالنسبة لـقطاع نصف قطره $r$ وزاويته $\theta$ بالراديان:
مثال محلول. قطاع له مركز $O$ والزاوية عند $O$ هي $\tfrac{2}{3}\pi$ راديان. أثبت أن المساحة المقطوعة بالوتر تساوي تقريباً $0.614 r^2$.
Change the angle (in radians) and radius. See the arc length $s = r\theta$ and the sector area $\tfrac12 r^2\theta$ update. · غيّر الزاوية (بالدرجات القوسية) ونصف القطر. شاهد تحديث طول القوس $s = r\theta$ ومساحة المقطع الدائري $\tfrac12 r^2\theta$.
| English | العربية |
|---|---|
| radian/ˈreɪdɪən/ | راديان |
| arc/ɑːk/ | قوس |
| degrees/dɪˈɡriːz/ | درجات |
| sector/ˈsektə/ | القطاع |
| chord/kɔːd/ | وتر |
| segment/ˈseɡmənt/ | شريحة |
| Candidates should be able to: | Notes and examples |
|---|---|
| sketch and use graphs of the sine, cosine and tangent functions (for angles of any size, and using either degrees or radians) | Including e.g. $y = 3 \sin x$, $y = 1 - \cos 2x$, $y = \tan(x + \frac{1}{4}\pi)$. |
| use the exact values of the sine, cosine and tangent of $30^\circ$, $45^\circ$, $60^\circ$, and related angles | e.g. $\cos 150^\circ = -\frac{1}{2}\sqrt{3}$, $\sin \frac{3}{4}\pi = \frac{1}{\sqrt{2}}$. |
| use the notations $\sin^{-1} x$, $\cos^{-1} x$, $\tan^{-1} x$ to denote the principal values of the inverse trigonometric relations | No specialised knowledge of these functions is required, but understanding of them as examples of inverse functions is expected. |
| use the identities $\frac{\sin \theta}{\cos \theta} \equiv \tan \theta$ and $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta \equiv 1$ | e.g. in proving identities, simplifying expressions and solving equations. |
| find all the solutions of simple trigonometrical equations lying in a specified interval (general forms of solution are not included). | e.g. solve $3 \sin 2x + 1 = 0$ for $-\pi < x < \pi$, $3 \sin^2 \theta - 5 \cos \theta - 1 = 0$ for $0^\circ \leqslant \theta \leqslant 360^\circ$. |
| يجب أن يكون المرشحون قادرين على: | ملاحظات وأمثلة |
|---|---|
| رسم واستخدام بيانيات دالتي الجيب و جيب التمام و ظل الزاوية (لزوايا من أي حجم، باستخدام الدرجات أو الراديان) | بما في ذلك على سبيل المثال $y = 3 \sin x$، $y = 1 - \cos 2x$، $y = \tan(x + \frac{1}{4}\pi)$. |
| استخدام القيم الدقيقة لـ جيب الزاوية و جيب تامة الزاوية و ظل الزاوية عند $30^\circ$، $45^\circ$، $60^\circ$، والزاويات ذات الصلة | على سبيل المثال $\cos 150^\circ = -\frac{1}{2}\sqrt{3}$، $\sin \frac{3}{4}\pi = \frac{1}{\sqrt{2}}$. |
| استخدام الرموز $\sin^{-1} x$، $\cos^{-1} x$، $\tan^{-1} x$ للإشارة إلى القيم الأساسية لعلاقات المقلوب المثلثاتي | لا يُشترط معرفة متخصصة بهذه الدوال، لكن يُتوقع فهمها كأمثلة على الدوال العكسية. |
| استخدام المتطابقات $\frac{\sin \theta}{\cos \theta} \equiv \tan \theta$ و $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta \equiv 1$ | على سبيل المثال في إثبات المتطابقات، وتبسيط التعبيرات وحل المعادلات. |
| إيجاد جميع حلول المعادلات المثلثية البسيطة الواقعة في مجال محدد (لا تُشمل الأشكال العامة للحلول). | على سبيل المثال: حل $3 \sin 2x + 1 = 0$ عندما $-\pi < x < \pi$، و$3 \sin^2 \theta - 5 \cos \theta - 1 = 0$ عندما $0^\circ \leqslant \theta \leqslant 360^\circ$. |
Source: Cambridge International syllabus · المصدر: منهج كامبريدج الدولي
You must know the shape of the graphs of the sine 正弦, cosine 余弦 and tangent function 正切 (written $\sin$, $\cos$, $\tan$). The sine and cosine graphs wave between $-1$ and $1$ and repeat every $360^\circ$ ($2\pi$). Learn these exact values:
| $\theta$ | $30^\circ$ | $45^\circ$ | $60^\circ$ |
|---|---|---|---|
| $\sin\theta$ | $\tfrac12$ | $\tfrac{1}{\sqrt2}$ | $\tfrac{\sqrt3}{2}$ |
| $\cos\theta$ | $\tfrac{\sqrt3}{2}$ | $\tfrac{1}{\sqrt2}$ | $\tfrac12$ |
| $\tan\theta$ | $\tfrac{1}{\sqrt3}$ | $1$ | $\sqrt3$ |
The notations $\sin^{-1}x$, $\cos^{-1}x$, $\tan^{-1}x$ mean the inverse angle (the principal value 主值).
An identity 恒等式 is true for every value of the angle. The two you must know are
To solve a trigonometric equation 三角方程, first reduce it to one function, then find every solution in the given interval.
Worked example. Solve $6\sin\theta = 1 + \dfrac{2}{\sin\theta}$ for $-180^\circ < \theta < 180^\circ$.
Multiply through by $\sin\theta$ to clear the fraction. This makes a quadratic in $\sin\theta$:
The four solutions are $\theta = -150^\circ,\ -30^\circ,\ 41.8^\circ,\ 138.2^\circ$.
يجب أن تعرف شكل الرسوم البيانية لـالجيب، جيب التمام وظل الدالة (تُكتب $\sin$، $\cos$، $\tan$). رسوم الجيب وجيب التمام تتذبذب بين $-1$ و $1$ وتتكرر كل $360^\circ$ ($2\pi$). احفظ هذه القيم الدقيقة:
| $\theta$ | $30^\circ$ | $45^\circ$ | $60^\circ$ |
|---|---|---|---|
| $\sin\theta$ | $\tfrac12$ | $\tfrac{1}{\sqrt2}$ | $\tfrac{\sqrt3}{2}$ |
| $\cos\theta$ | $\tfrac{\sqrt3}{2}$ | $\tfrac{1}{\sqrt2}$ | $\tfrac12$ |
| $\tan\theta$ | $\tfrac{1}{\sqrt3}$ | $1$ | $\sqrt3$ |
الرموز $\sin^{-1}x$، $\cos^{-1}x$، $\tan^{-1}x$ تعني زاوية عكسية (الـقيمة الرئيسية).
المتطابقة صحيحة لكل قيمة للزاوية. المتطابقتان اللتان يجب أن تعرفهما هما:
لحل معادلة مثلثية، أولاً اختزلها إلى دالة واحدة، ثم أوجد كل الحلول في الفترة المعطاة.
مثال محلول. حل $6\sin\theta = 1 + \dfrac{2}{\sin\theta}$ لـ $-180^\circ < \theta < 180^\circ$.
اضرب جميع الأطراف في $\sin\theta$ لتبسيط الكسر. هذا يُنشئ معادلة تربيعية بـ $\sin\theta$:
الحلول الأربعة هي $\theta = -150^\circ,\ -30^\circ,\ 41.8^\circ,\ 138.2^\circ$.
Drag the amplitude, period and shifts of y = a·sin(bx + c) + d and watch the curve change against the base wave. · اسحب السعة والدورة والإزاحات لـ y = a·sin(bx + c) + d ولاحظ تغير المنحنى مقابل الموجة الأساسية.
Drag the angle round the unit circle. The height is $\sin\theta$, the across-distance is $\cos\theta$ — that's where the graphs come from. · اسحب الزاوية حول دائرة الوحدة. الارتفاع هو $\sin\theta$ والمسافة الأفقية هي $\cos\theta$ — ومن هنا تأتي الرسوم البيانية.
| English | العربية |
|---|---|
| sine/saɪn/ | جايب |
| cosine/ˈkəʊsaɪn/ | جيب التمام |
| tangent function/ˈtændʒənt ˈfʌŋkʃn/ | دالة الظل |
| principal value/ˈprɪnsɪpl ˈvæljuː/ | القيمة الرئيسية |
| identity/aɪˈdentɪti/ | الهوية |
| trigonometric equation/ˌtrɪɡənəʊˈmetrɪk ɪˈkweɪʒn/ | المعادلة المثلثية |
| binomial expansion/baɪˈnəʊmɪəl ekˈspænʃn/ | توسع ذات الحدين |
| binomial coefficient/baɪˈnəʊmɪəl ˌkəʊɪˈfɪʃənt/ | معامل ذات الحدين |
| progression/prəˈɡreʃn/ | تدرج |
| arithmetic progression/əˈrɪθmətɪk prəˈɡreʃn/ | متتالية حسابية |
| common difference/ˈkɒmən ˈdɪfrəns/ | الفرق المشترك |
| term/tɜːm/ | حد (في المتسلسلة) |
| geometric progression/ˌdʒiːəʊˈmetrɪk prəˈɡreʃn/ | متتالية هندسية |
| Candidates should be able to: | Notes and examples |
|---|---|
| use the expansion of $(a + b)^n$, where $n$ is a positive integer | Including the notations $\begin{pmatrix} n \\ r \end{pmatrix}$ and $n!$ Knowledge of the greatest term and properties of the coefficients are not required. |
| recognise arithmetic and geometric progressions | |
| use the formulae for the $n$th term and for the sum of the first $n$ terms to solve problems involving arithmetic or geometric progressions | Including knowledge that numbers $a$, $b$, $c$ are 'in arithmetic progression' if $2b = a + c$ (or equivalent) and are 'in geometric progression' if $b^2 = ac$ (or equivalent). Questions may involve more than one progression. |
| use the condition for the convergence of a geometric progression, and the formula for the sum to infinity of a convergent geometric progression. |
| يجب أن يكون المرشحون قادرين على: | ملاحظات وأمثلة |
|---|---|
| استخدام مفكوك $(a + b)^n$، حيث $n$ عدد صحيح موجب | بما في ذلك الرموز $\begin{pmatrix} n \\ r \end{pmatrix}$ و $n!$. لا يُشترط معرفة الحد الأكبر وخصائص المعاملات. |
| التعرف على التسلسلات الحسابية و التسلسلات الهندسية | |
| استخدام صيغ الحد الـ $n$ والمجموع للحدود الـ $n$ الأولى لحل مسائل تتعلق بـ التسلسلات الحسابية أو الهندسية | بما في ذلك المعرفة بأن الأعداد $a$، $b$، $c$ تكون 'في تسلسل حسابي' إذا $2b = a + c$ (أو ما يكافئها)، وهي 'في تسلسل هندسي' إذا $b^2 = ac$ (أو ما يكافئها). قد تتضمن الأسئلة أكثر من تسلسل واحد. |
| استخدام شرط تقارب التسلسل الهندسي، وصيغة المجموع اللانهائي لـ التسلسل الهندسي المتقارب. |
Source: Cambridge International syllabus · المصدر: منهج كامبريدج الدولي
For a positive integer $n$, the binomial expansion 二项展开式 is
Worked example. Find the first three terms, in ascending powers of $x$, of $(2 - px)^5$.
A progression 数列 (sequence) is a list of terms following a rule.
A GP is convergent — it converges 收敛 (settles to a limit) — when $|r| < 1$. Then it has a sum to infinity 无穷和
Worked example. The third term of a GP is $18$ and the sum of the first three terms is $26$. The common ratio is negative. Find the sum to infinity.
From $ar^2 = 18$ you get $a = \dfrac{18}{r^2}$. Put this into $a(1 + r + r^2) = 26$:
لعدد صحيح موجب $n$، يكون مفكوك ذات الحدين هو:
مثال محلول. أوجد الحد الثلاثة الأولى، بأس متصاعدة من $x$، لـ $(2 - px)^5$.
المتتالية (Sequence) هي قائمة من الحدود تتبع قاعدة معينة.
متتالية هندسية متقاربة — تتقارب (تستقر عند حد) — عندما $|r| < 1$. حينها يكون لها مجموع إلى ما لا نهاية
مثال محلول. الحد الثالث لمتتالية هندسية هو $18$ ومجموع أول ثلاثة حدود هو $26$. النسبةCOMMON ratio سالبة. أوجد المجموع إلى ما لا نهاية.
من $ar^2 = 18$ تحصل على $a = \dfrac{18}{r^2}$. ضع هذا في $a(1 + r + r^2) = 26$:
Switch between an arithmetic (add d) and a geometric (multiply by r) sequence and watch the terms and their sum build up. · التبديل بين سلسلة حسابية (جمع d) وسلسلة هندسية (ضرب r) وراقب بناء الحدود ومجموعها.
| English | العربية |
|---|---|
| common ratio/ˈkɒmən ˈreɪʃɪəʊ/ | النسبة المشتركة |
| converges/kənˈvɜːdʒɪz/ | تتقارب |
| sum to infinity/sʌm tʊ ɪnˈfɪnɪti/ | المجموع إلى ما لا نهاية |
| Differentiation/ˌdɪfəˌrenʃɪˈeɪʃn/ | التفاضل |
| gradient of a curve/ˈɡreɪdɪənt əvə kɜːv/ | ميل المنحنى |
| limit/ˈlɪmɪt/ | حد |
| derivative/dɪˈrɪvətɪv/ | المشتقة |
| chain rule/tʃeɪn ruːl/ | قاعدة السلسلة |
| second derivative/ˈsekənd dɪˈrɪvətɪv/ | المشتقة الثانية |
| normal/ˈnɔːml/ | العادي |
| increasing function/ɪnˈkriːsɪŋ ˈfʌŋkʃn/ | دالة متزايدة |
| decreasing function/ˈdiːkriːsɪŋ ˈfʌŋkʃn/ | دالة متناقصة |
| rate of change/reɪt ɒv tʃeɪndʒ/ | معدل التغير |
| Candidates should be able to: | Notes and examples |
|---|---|
| understand the gradient of a curve at a point as the limit of the gradients of a suitable sequence of chords, and use the notations $f'(x)$, $f''(x)$, $\frac{\text{d}y}{\text{d}x}$, and $\frac{\text{d}^2y}{\text{d}x^2}$ for first and second derivatives | Only an informal understanding of the idea of a limit is expected. e.g. includes consideration of the gradient of the chord joining the points with $x$ coordinates $2$ and $(2 + h)$ on the curve $y = x^3$. Formal use of the general method of differentiation from first principles is not required. |
| use the derivative of $x^n$ (for any rational $n$), together with constant multiples, sums and differences of functions, and of composite functions using the chain rule | e.g. find $\frac{\text{d}y}{\text{d}x}$, given $y = \sqrt{2x^3 + 5}$. |
| apply differentiation to gradients, tangents and normals, increasing and decreasing functions and rates of change | Including connected rates of change, e.g. given the rate of increase of the radius of a circle, find the rate of increase of the area for a specific value of one of the variables. |
| locate stationary points and determine their nature, and use information about stationary points in sketching graphs. | Including use of the second derivative for identifying maxima and minima; alternatives may be used in questions where no method is specified. Knowledge of points of inflexion is not included. |
| يجب أن يكون المرشحون قادرين على: | ملاحظات وأمثلة |
|---|---|
| فهم ميل المنحنى عند نقطة على أنه نهاية أقطار متسلسلة مناسبة من الأوتار، واستخدام الرموز $f'(x)$، $f''(x)$، $\frac{\text{d}y}{\text{d}x}$، و $\frac{\text{d}^2y}{\text{d}x^2}$ للاشتقاق الأول والثاني | يُتوقع فقط فهم غير رسمي لمفهوم النهاية. على سبيل المثال: يشمل دراسة ميل الوتر الذي يربط النقطتين ذات الإحداثيات $x$ $2$ و $(2 + h)$ على المنحنى $y = x^3$. لا يُشترط الاستخدام الرسمي للطريقة العامة للاشتقاق من المبادئ الأولى. |
| استخدام مشتقة $x^n$ (أي عدد ناطق $n$)، جنباً إلى جنب المضاعفات الثابتة ومجموعات و farks الدوال، والدوال المركبة باستخدام قاعدة السلسلة | على سبيل المثال: إيجاد $\frac{\text{d}y}{\text{d}x}$، مع给定 $y = \sqrt{2x^3 + 5}$. |
| تطبيق الاشتقاق على الأقطار و المماسات و الأعمدة العمودية والدوال المتزايدة والمتناقصة و معدلات التغير | بما في ذلك معدلات التغير المرتبطة، على سبيل المثال: مع给定 معدل زيادة نصف قطر دائرة، إيجاد معدل زيادة مساحتها لقيمة محددة لأحد المتغيرات. |
| تحديد النقاط الثابتة وتحديد طبيعتها، واستخدام المعلومات حول النقاط الثابتة في رسم البيانات. | بما في ذلك استخدام المشتقة الثانية لتحديد القيم العظمى والصغرى؛ يمكن استخدام بدائل في الأسئلة التي لم يتم فيها تحديد طريقة. لا يُشمل معرفة نقاط الانعطاف. |
Source: Cambridge International syllabus · المصدر: منهج كامبريدج الدولي
Differentiation 微分 finds the gradient of a curve 曲线斜率 at each point. The gradient is the limit 极限 of the gradients of shorter and shorter chords, called the derivative 导数.
Write the derivative as $f'(x)$ or $\dfrac{dy}{dx}$. The basic rule is
A stationary point 驻点 is where $\dfrac{dy}{dx} = 0$. Test its nature with the second derivative: $f''(x) > 0$ gives a minimum point 极小值点, and $f''(x) < 0$ gives a maximum point 极大值点. When $f''(x) = 0$ the test is inconclusive: the point may be a point of inflexion 拐点, where the curve changes concavity (the way it bends) – check the sign of $\dfrac{dy}{dx}$ just before and after to decide.
Worked example. The curve $y = 4x^{1/2} - x$ has a maximum point at $x = a$. Find $a$.
الاشتقاق يجد ميل المنحنى عند كل نقطة. الميل هو الحد لميل الوتر القصير والمتناقص، يسمى المشتقة.
اكتب المشتقة كـ $f'(x)$ أو $\dfrac{dy}{dx}$. القاعدة الأساسية هي:
النقطة الثابتة هي حيث $\dfrac{dy}{dx} = 0$. اختبر طبيعتها باستخدام المشتقة الثانية: $f''(x) > 0$ يعطي نقطة صغرى، و$f''(x) < 0$ يعطي نقطة عظمى. عندما $f''(x) = 0$ الاختبار غير حاسم: قد تكون النقطة نقطة انعطاف، حيث يتغير تقعر المنحنى (طريقة انحنائه) — تحقق من إشارة $\dfrac{dy}{dx}$ قبل وبعد لتحديد ذلك.
مثال محلول. المنحنى $y = 4x^{1/2} - x$ له نقطة عظمى عند $x = a$. أجد $a$.
y = ax³ + bx² + cx + d
Slide the point along the curve. The tangent shows the gradient $\frac{dy}{dx}$ there — steeper where the curve bends more. · اسحب النقطة على طول المنحنى. يظهر المماس الانحدار $\frac{dy}{dx}$ هناك — حيث يكون أكثر انحداراً كلما انحنى المنحنى أكثر.
| English | العربية |
|---|---|
| gradient/ˈɡreɪdɪənt/ | الميل |
| equation of a straight line/ɪˈkweɪʒn əvə streɪt laɪn/ | معادلة الخط المستقيم |
| parallel/ˈpærəlel/ | التوازي |
| perpendicular/ˌpɜːpənˈdɪkjʊlə/ | عمودية |
| stationary point/ˈsteɪʃənəri pɔɪnt/ | نقطة ثابتة |
| minimum point/ˈmɪnɪməm pɔɪnt/ | نقطة صغرى |
| maximum point/ˈmæksɪməm pɔɪnt/ | نقطة عظمى |
| point of inflexion/pɔɪnt ɒv ɪnˈflekʃn/ | نقطة انعطاف |
| Integration/ˌɪntɪˈɡreɪʃn/ | التكامل |
| constant of integration/ˈkɒnstənt ɒv ˌɪntɪˈɡreɪʃn/ | ثابت التكامل |
| definite integral/ˈdefɪnət ˈɪntɪɡrəl/ | تكامل محدد |
| region/ˈriːdʒn/ | منطقة |
| improper integral/ɪmˈprɒpə ˈɪntɪɡrəl/ | التكامل غير الصحيح |
| volume of revolution/ˈvɒljuːm ɒv ˌrevəˈluːʃn/ | حجم الدوران |
| algebra/ˈældʒɪbrə/ | الجبر |
| calculus/ˈkælkjʊləs/ | التفاضل والتكامل |
| coefficient/ˌkəʊɪˈfɪʃənt/ | المعامل |
| Candidates should be able to: | Notes and examples |
|---|---|
| understand integration as the reverse process of differentiation, and integrate $(ax + b)^n$ (for any rational $n$ except $-1$), together with constant multiples, sums and differences | e.g. $\int (2x^3 - 5x + 1) \text{d}x$, $\int \frac{1}{(2x + 3)^2} \text{d}x$. |
| solve problems involving the evaluation of a constant of integration | e.g. to find the equation of the curve through $(1, -2)$ for which $\frac{\text{d}y}{\text{d}x} = \sqrt{2x + 1}$. |
| evaluate definite integrals | Including simple cases of 'improper' integrals, such as $\int_{0}^{1} x^{-\frac{1}{2}} \text{d}x$ and $\int_{1}^{\infty} x^{-2} \text{d}x$. |
| use definite integration to find: - the area of a region bounded by a curve and lines parallel to the axes, or between a curve and a line or between two curves - a volume of revolution about one of the axes. | A volume of revolution may involve a region not bounded by the axis of rotation, e.g. the region between $y = 9 - x^2$ and $y = 5$ rotated about the $x$-axis. |
| يجب أن يكون المرشحون قادرين على: | ملاحظات وأمثلة |
|---|---|
| فهم التكامل كعملية عكسية للاشتقاق، وتكامل $(ax + b)^n$ (أي عدد ناطق $n$ باستثناء $-1$)، جنباً إلى جنب المضاعفات الثابتة والمجموع والفرك | على سبيل المثال $\int (2x^3 - 5x + 1) \text{d}x$، $\int \frac{1}{(2x + 3)^2} \text{d}x$. |
| حل المسائل التي تتضمن تقييم ثابت التكامل | على سبيل المثال لإيجاد معادلة المنحنى المار بنقطة $(1, -2)$ حيث $\frac{\text{d}y}{\text{d}x} = \sqrt{2x + 1}$. |
| تقييم التكاملات المحددة | بما في ذلك الحالات البسيطة من التكاملات 'غير الصحيحة'، مثل $\int_{0}^{1} x^{-\frac{1}{2}} \text{d}x$ و $\int_{1}^{\infty} x^{-2} \text{d}x$. |
| استخدام التكامل المحدد لإيجاد: - المساحة لمنطقة محصورة بمنحنى وخطوط موازية للمحاور، أو بين منحنى وخط أو بين منحنيين - حجم الدوران حول أحد المحورين. | قد يتضمن حجم الدوران منطقة غير محصورة بمحور الدوران، على سبيل المثال المنطقة بين $y = 9 - x^2$ و $y = 5$ تدور حول محور $x$. |
Source: Cambridge International syllabus · المصدر: منهج كامبريدج الدولي
Integration 积分 is the reverse of differentiation. Reversing the power rule gives
A definite integral 定积分 has limits and gives a number:
Worked example. The curve $y = 4x^{1/2} - x$ meets the $x$-axis again at $x = 16$. Find the area between the curve and the $x$-axis from $x = 0$ to $x = 4$.
An improper integral 广义积分 has an infinite limit or an endpoint where the integrand is undefined; evaluate it as a limit. For example,
When a region is turned all the way around an axis it sweeps out a solid. The volume of revolution 旋转体体积 about the $x$-axis is
التكامل هو عكس الاشتقاق. عكس قاعدة القوة يعطي:
التكامل المحدد له حدود ويعطي رقماً:
مثال محلول. المنحنى $y = 4x^{1/2} - x$ يقطع محور $x$ مرة أخرى عند $x = 16$. أجد المساحة بين المنحنى ومحور $x$ من $x = 0$ إلى $x = 4$.
التكامل غير الصحيح له حد لا نهائي أو نقطة نهاية يكون عندها الدالة المكاملة غير معرّفة؛ قم بحسابه كـ حد. على سبيل المثال،
عند تدوير منطقة حول محور بشكل كامل، فإنها تحدد مجسماً. حجم الدوران حول محور $x$ هو
y = ax³ + bx² + cx + d
Drag the limits. The definite integral is the shaded area between the curve and the x-axis. · اسحب الحدود. التكامل المحدد هو المساحة المظللة بين المنحنى ومحور x.
Work through it step by step, with instant-check exercises. · ا-working عليه خطوة بخطوة، مع تمارين تحقق فوري.
Past Papers · أوراق الامتحانات السابقة
Loading subjects… · جار تحميل المواضيع…