Projectile motion and variable acceleration · 抛体运动与变加速
| English | 中文 | Pinyin · 拼音 |
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| projectile/prəˈdʒektaɪl/ | 抛体 | pāo tǐ |
Why does horizontal motion share vertical time?
- A ball is launched at an angle. Its horizontal and vertical motion share time but follow different equations.
- This lesson studies projectile 抛体: A particle moving under gravity after launch in a model that neglects air resistance.
为什么水平运动与竖直运动共用时间？
- 球以一定角度抛出。其水平运动和竖直运动共用时间，但遵循不同的运动方程。
- 本课研究抛体（projectile）：发射后仅在重力作用下运动的质点，模型中忽略空气阻力。
Choose the mathematical structure
- Resolve initial velocity into horizontal u cosθ and vertical u sinθ. With no air resistance, horizontal acceleration is zero and vertical acceleration is -g. Use the same time in both components.
- State the allowed inputs and units before calculating. An equation should express the relationship, not just record a calculator entry.
选择数学结构
- 将初速度分解为水平分量 u cosθ 和竖直分量 u sinθ。在无空气阻力的情况下，水平加速度为零，竖直加速度为 -g。两个分运动使用相同的时间。
- 计算前请先明确允许的输入项和单位。方程应表达关系本身，而不仅仅是记录计算器按键过程。
Which description correctly defines projectile? · 以下哪项描述正确定义了抛体？
A particle moving under gravity after launch in a model that neglects air resistance. · 在忽略空气阻力的模型中，质点发射后仅在重力作用下的运动。
Work through a checked case
- Check the result against the starting quantities. Substitute into the original relation, or compare the graph and numerical answer where appropriate.
For components u_x=12,u_y=16 and g=9.8, at t=2 s the horizontal displacement is x=12×2=24 m and vertical displacement is y=16×2-9.8×2²/2=12.4 m. At the highest point, v_y=0 but v_x remains 12.
通过验证案例进行推导
- 将结果与初始量进行比对。代入原始关系式，或在适当情况下对比图表与数值答案。
对于分量 u_x=12, u_y=16 以及 g=9.8，在 t=2 s 时，水平位移 x=12×2=24 m，竖直位移 y=16×2-9.8×2²/2=12.4 m。在最高点处，v_y=0，但 v_x 保持为 12。
Projectile motion and variable acceleration · 抛体运动与变加速
Resolve initial velocity into horizontal u cosθ and vertical u sinθ · 将初速度分解为水平分量 u cosθ 和垂直分量 u sinθ
Separate the two components and interpret the sign of the vertical velocity. · 分离两个分量并解读垂直速度的符号。
For u_x=12,u_y=16,g=9.8, find x at t=2. · 已知 u_x=12, u_y=16, g=9.8，求 t=2 时的 x。
Horizontal motion is uniform: x=12×2=24 m. · 水平方向做匀速运动：x=12×2=24 m。
Test a tempting shortcut
- Zero vertical velocity at the highest point does not mean zero total speed. Launch and landing heights need not be equal. Do not use a range formula that assumes equal heights without checking them.
- When a shortcut fails, identify the assumption it breaks. Keep an exact value until the requested final rounding.
The total speed of a projectile is zero at its highest point. This claim is false. Explain which definition or assumption it violates.
检验一个诱人的捷径
- 最高点竖直速度为零并不意味着总速度为零。抛出点和落地点的高度不必相等。在未核实高度是否相等之前，不要使用射程公式。
- 当捷径失效时，找出其违背的假设。保留精确值直到题目要求的最终舍入步骤。
抛体在最高点时的合速度为零。此说法是错误的。请解释它违反了哪一定义或假设。
For that launch, find y at t=2. · 对于该次抛射，求 t=2 时的 y。
y=16×2-9.8×2²/2=12.4 m.
The total speed of a projectile is zero at its highest point. · 抛体在最高点处的总速度为零。
Zero vertical velocity at the highest point does not mean zero total speed. Launch and landing heights need not be equal. Do not use a range formula that assumes equal heights without checking them. · 最高点处垂直速度为零并不意味着总速度为零。抛出点与落地点的高度未必相等。在未核实高度是否相等的情况下，请勿使用假设高度相等的射程公式。
Interpret a new situation
- For variable acceleration, integrate a(t) to get v(t) and use the initial velocity to find the constant, then integrate for displacement. Confirm units and the physical time interval.
- A complete solution gives the mathematical result and explains what it means. Check that it is possible in the stated context.
解读新情境
- 对于变加速运动，对 a(t) 积分得到 v(t)，并利用初速度求出常数项，然后再积分求位移。确认单位及物理时间区间。
- 完整解答需给出数学结果并解释其含义。检查其在所述背景下是否可行。
Find v_y at t=2. · 求 t=2 时的 v_y。
v_y=16-9.8×2=-3.6 m/s, so motion is downward. · v_y=16-9.8×2=-3.6 m/s，因此运动方向向下。
Match each part of a complete solution to its purpose. · 将完整解答的每个部分与其目的相匹配。
An assumption justifies the model; a check tests the result; interpretation connects it to the question. · 假设用于论证模型的合理性；检查用于验证结果；解释用于将其与问题建立联系。
Use this in your course
- edexcel IAL further mathematics; official unit M2. Other-unit enrichment is identified in the scope review; it is not an extra cash-in requirement.
- Give the method before the final answer, and use the paper's calculator and formula rules. Review a wrong answer by locating the first invalid step.
A particle moving under gravity after launch in a model that neglects air resistance. Choose the relationship, show the method, check its assumptions and interpret the result.
将其应用于你的课程
- Edexcel IAL 进阶数学；官方单元 M2。其他单元的补充内容在范围审查中明确列出，并非额外的加分要求。
- 在给出最终答案前先展示解题方法，并遵循试卷的计算器及公式使用规则。通过定位第一个无效步骤来复盘错误答案。
一个发射后仅在重力作用下运动的质点（模型忽略空气阻力）。选择正确的关系式，展示推导方法，检验其适用假设并解读结果。