The Binomial Distribution · 二项分布
| English | 中文 | Pinyin · 拼音 |
|---|---|---|
| binomial/baɪˈnəʊmɪəl/ | 二项 | èr xiàng |
| binomial random variable/baɪˈnəʊmɪəl ˈrændəm ˈveərɪəbl/ | 二项随机变量 | èr xiàng suí jī biàn liàng |
| binomial setting/baɪˈnəʊmɪəl ˈsetɪŋ/ | 二项分布情境 | èr xiàng fēn bù qíng jìng |
| geometric/ˌdʒiːəʊˈmetrɪk/ | 几何 | jǐ hé |
Counting successes
- The binomial 二项 distribution counts successes in a fixed number of tries.
- A binomial random variable 二项随机变量 $X$ = the number of successes in $n$ trials.
- Example: number of heads in $10$ flips, or correct guesses on $5$ questions.
- It's one of the most useful distributions in all of statistics.
数成功次数
- 二项分布数的是固定次数的尝试中的成功数。
- 二项随机变量 $X$ = 在 $n$ 次试验中成功的次数。
- 例如：$10$ 次抛掷中正面的个数，或 $5$ 道题中猜对的个数。
- 它是整个统计学中最有用的分布之一。
The BINS conditions
- Four conditions define the binomial setting 二项分布情境 (remember BINS):
- Binary — each trial is success/failure. Independent — trials don't affect each other.
- Number — a fixed number of trials $n$. Same — a constant probability $p$ each trial.
- All four must hold, or it isn't binomial.
BINS 条件
- 四个条件定义了二项设定（记住 BINS）：
- Binary（二值）——每次试验成功/失败。Independent（独立）——试验互不影响。
- Number（次数）——固定的试验次数 $n$。Same（相同）——每次相同的概率 $p$。
- 四条必须全部成立，否则就不是二项。
The binomial formula
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$$P(X = k) = \binom{n}{k} p^{k} (1-p)^{n-k}$$
- $\binom{n}{k}$ counts the ways to place $k$ successes among $n$ trials.
- $p^k$ is the chance of those $k$ successes; $(1-p)^{n-k}$ the $n-k$ failures.
- Multiply the count of arrangements by the probability of each.
二项公式
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$$P(X = k) = \binom{n}{k} p^{k} (1-p)^{n-k}$$
- $\binom{n}{k}$ 数的是把 $k$ 个成功安排在 $n$ 次试验中的方式数。
- $p^k$ 是那 $k$ 次成功的机会；$(1-p)^{n-k}$ 是那 $n-k$ 次失败。
- 把排列的数目乘以每种排列的概率。
Binomial vs. geometric
- Binomial: a fixed $n$; you count how many successes.
- Geometric 几何: you keep going until the first success; you count how many trials that took.
- Fixed number of trials → binomial; "until first success" → geometric.
- Spotting which setting you're in is the first move on any problem.
二项与几何
- 二项：一个固定的 $n$；你数的是有多少个成功。
- 几何：你一直进行到第一次成功；你数的是花了多少次试验。
- 固定试验次数 → 二项；“直到第一次成功” → 几何。
- 认出你处于哪种设定，是任何题目的第一步。
Check all four BINS conditions before using the formula — especially independence and a constant $p$. Drawing cards without replacement breaks both ($p$ changes, trials depend), so it isn't binomial. And don't confuse it with geometric: binomial has a fixed $n$; geometric runs until the first success.
用公式之前先检查全部四个 BINS 条件——尤其是独立性和恒定的 $p$。不放回地抽牌会同时破坏这两条（$p$ 变化、试验相依），所以那不是二项。也别把它和几何混淆：二项有固定的 $n$；几何一直到第一次成功。
A multiple-choice quiz: $5$ questions, guess randomly, $p = 0.25$ correct each. $X =$ number right.
- BINS? Binary (right/wrong), independent, fixed $n=5$, same $p=0.25$. ✓ Binomial.
- $P(X = 2) = \binom{5}{2}(0.25)^2(0.75)^3 = 10 \times 0.0625 \times 0.4219 \approx 0.264$.
- So about a $26\%$ chance of exactly $2$ correct.
一场选择题小测：$5$ 道题，随机猜，每题猜对 $p = 0.25$。$X =$ 猜对的个数。
- **BINS？**二值（对/错）、独立、固定 $n=5$、相同 $p=0.25$。✓ 二项。
- $P(X = 2) = \binom{5}{2}(0.25)^2(0.75)^3 = 10 \times 0.0625 \times 0.4219 \approx 0.264$。
- 所以恰好猜对 $2$ 道的机会约为 $26\%$。
A binomial random variable counts successes in a fixed $n$ trials, valid when the BINS conditions hold (Binary, Independent, fixed Number, Same $p$). Then $P(X=k)=\binom{n}{k}p^{k}(1-p)^{n-k}$. A binomial setting has fixed $n$; a geometric setting runs until the first success.
二项随机变量数固定 $n$ 次试验中的成功数，在 BINS 条件成立时有效（B 二值、I 独立、固定 N 次数、S 相同 $p$）。此时 $P(X=k)=\binom{n}{k}p^{k}(1-p)^{n-k}$。二项设定有固定的 $n$；几何设定一直进行到第一次成功。
A binomial distribution · 一个二项分布
Bars give P(X=k) for successes in n trials. · 各条给出 n 次试验中成功 k 次的 P(X=k)。
Which is NOT one of the four binomial (BINS) conditions? · 以下哪一个不是四个二项（BINS）条件之一？
BINS = Binary, Independent, fixed Number, Same p. Random sampling isn't required. · BINS = 二值、独立、固定次数、相同 p。不要求随机抽样。
Drawing cards WITHOUT replacement is not binomial mainly because... · 不放回地抽牌不是二项，主要因为……
Without replacement breaks constant p and independence. · 不放回破坏了恒定 p 和独立性。
How many ways can 2 successes occur in 5 trials? Compute C(5,2). · 5 次试验中出现 2 次成功有多少种方式？计算 C(5,2)。
C(5,2) = 10. · C(5,2) = 10。
A geometric setting counts trials until the first success, unlike a binomial's fixed n. · 几何设定数的是到第一次成功为止的试验次数，不同于二项固定的 n。
Fixed n → binomial; until first success → geometric. · 固定 n → 二项；直到第一次成功 → 几何。
The mnemonic for the four binomial conditions is ___ (four letters). · 四个二项条件的助记词是 ___（四个字母）。
Binary, Independent, Number fixed, Same p. · 二值、独立、次数固定、相同 p。