Modeling with Sinusoidal Functions · 用正弦型函数建模
| English | 中文 | Pinyin · 拼音 |
|---|---|---|
| amplitude/ˈæmplɪtjuːd/ | 振幅 | zhèn fú |
| period/ˈpɪərɪəd/ | 周期 | zhōu qī |
| midline/ˈmɪdlaɪn/ | 中线 | zhōng xiàn |
| sinusoidal model/ˌsaɪnəˈsɔɪdl ˈmɒdl/ | 正弦型模型 | zhèng xián xíng mó xíng |
| sinusoidal regression/ˌsaɪnəˈsɔɪdl rɪˈɡreʃn/ | 正弦型回归 | zhèng xián xíng huí guī |
Predicting the tides
- Tide charts, daily temperatures, and hours of daylight all rise and fall on a cycle.
- To forecast the next high tide, we fit a sine wave to past measurements.
- The four sinusoid dials — amplitude, period, midline, shift — get read straight from the data.
- Once fitted, the model predicts every future cycle.
预测潮汐
- 潮汐表、每日气温、日照时数,都在一个循环里起起落落。
- 为了预报下一次高潮,我们给过去的测量拟合一条正弦波。
- 正弦型的四个旋钮——振幅、周期、中线、平移——都直接从数据里读出。
- 一旦拟合好,模型就能预测未来的每一个循环。
Reading the model from data
- A sinusoidal model 正弦型模型 is $y = a\sin(b(x - c)) + d$ fitted to periodic data.
- The midline 中线 $d$ is the average of the highest and lowest values.
- The amplitude 振幅 $|a|$ is half the distance between the high and the low.
- These two come straight from the peaks and troughs of the data.
从数据读出模型
- 正弦型模型(sinusoidal model)是拟合周期数据的 $y = a\sin(b(x - c)) + d$。
- 中线(midline)$d$ 是最高值和最低值的平均。
- 振幅(amplitude)$|a|$ 是最高与最低之间距离的一半。
- 这两个直接来自数据的波峰和波谷。
A sinusoidal model is the right choice for data that… · 正弦型模型适合……的数据。
Repeating highs and lows — tides, temperatures, daylight hours — call for a sinusoidal model. · 重复的高低起伏——潮汐、气温、日照时数——需要一个正弦型模型。
Period and shift from data
- The period 周期 is how long one full cycle takes; then $b = \tfrac{2\pi}{\text{period}}$.
- The phase shift $c$ lines the wave up with when the data first peaks.
- Tides repeat about every $12.4$ hours; a year of temperatures repeats every $12$ months.
- Match the cycle length and the model locks onto the rhythm.
从数据求周期与平移
- 周期(period)是一个完整循环持续多久;然后 $b = \tfrac{2\pi}{\text{period}}$。
- 相位平移 $c$ 让波对齐到数据第一次达到峰值的时刻。
- 潮汐大约每 $12.4$ 小时重复;一年的气温每 $12$ 个月重复。
- 匹配上循环长度,模型就锁定了这个节律。
Tune a sinusoid to match periodic data · 调整正弦型曲线来匹配周期数据
y = a·sin(b(x − c)) + d
Set the midline d and amplitude a from the data's high and low, then set b from the period until the wave fits. · 用数据的最高和最低值设定中线 d 和振幅 a,再用周期设定 b,直到波贴合。
The midline of a fitted sinusoid is the ____ of the highest and lowest data values. · 拟合正弦型曲线的中线是最高和最低数据值的____。
Midline $= \dfrac{\text{max} + \text{min}}{2}$; the amplitude · 振幅 is half the distance between them. · 中线 $= \dfrac{\text{max} + \text{min}}{2}$;振幅是它们之间距离的一半。
Tides run from a low of $1$ m to a high of $5$ m. What is the amplitude? · 潮汐从最低 $1$ 米到最高 $5$ 米。振幅是多少?
Amplitude · 振幅 $= \dfrac{5 - 1}{2} = 2$ m — half the total swing. · 振幅 $= \dfrac{5 - 1}{2} = 2$ 米——总摆幅的一半。
Select all · 所有 true statements about sinusoidal models. · 选出关于正弦型模型的所有正确说法。
Sinusoids repeat; they do not fit unbounded growth. The other three are correct. · 正弦型曲线是重复的;它们不拟合无界的增长。其余三条正确。
Sinusoidal regression
- With many data points, use technology to run a sinusoidal regression 正弦型回归.
- It returns the best-fit $a, b, c, d$ all at once.
- The curve threads the data's cycle without hitting every point exactly.
- The result is a ready-to-use periodic formula.
正弦型回归
- 面对许多数据点,用技术做一次正弦型回归(sinusoidal regression)。
- 它一次性返回最佳拟合的 $a, b, c, d$。
- 曲线穿过数据的循环,却不精确命中每个点。
- 结果是一个可以直接使用的周期公式。
Technology can compute a sinusoidal regression to fit periodic data. · 技术可以计算正弦型回归来拟合周期数据。
A sinusoidal regression returns the best-fit $a, b, c, d$ for a data set, just like other regressions. · 正弦型回归为一组数据返回最佳拟合的 $a, b, c, d$,和其他回归一样。
Using the model
- Plug in a future input to predict, say, the tide height at 3 p.m. tomorrow.
- Because it repeats, one well-fitted cycle forecasts them all.
- Keep the domain sensible — the pattern holds only while conditions stay steady.
- Interpret each parameter: amplitude is the tidal range, midline is the mean level.
使用模型
- 代入一个未来的输入来预测,比如明天下午 3 点的潮高。
- 因为它重复,一个拟合良好的循环就能预报所有循环。
- 保持定义域合理——只在条件稳定时,模式才成立。
- 解释每个参数:振幅是潮差,中线是平均水位。
A sinusoidal model only fits data that genuinely repeats. Do not force one onto data that trends upward overall — a rising, wobbling series needs a trend plus a wave, not a pure sinusoid.
正弦型模型只拟合真正重复的数据。不要把它强加到整体呈上升趋势的数据上——一个上升、晃动的序列需要一个趋势加一条波,而不是纯粹的正弦型曲线。
A harbour's tide is low ($1$ m) at midnight and high ($5$ m) six hours later.
- Midline $d = \tfrac{1 + 5}{2} = 3$ m; amplitude $|a| = \tfrac{5 - 1}{2} = 2$ m.
- Low-to-high is half a cycle in $6$ h, so the period is $12$ h and $b = \tfrac{2\pi}{12}$.
- Model: $h = 3 - 2\cos\!\left(\tfrac{2\pi}{12}t\right)$, starting low at $t = 0$.
一个港口的潮汐在午夜是低潮($1$ 米),六小时后是高潮($5$ 米)。
- 中线 $d = \tfrac{1 + 5}{2} = 3$ 米;振幅 $|a| = \tfrac{5 - 1}{2} = 2$ 米。
- 从低到高是半个循环,用了 $6$ 小时,所以周期是 $12$ 小时,$b = \tfrac{2\pi}{12}$。
- 模型:$h = 3 - 2\cos\!\left(\tfrac{2\pi}{12}t\right)$,在 $t = 0$ 从低潮开始。
A sinusoidal model $y = a\sin(b(x-c)) + d$ fits repeating data: the midline is the average of high and low, the amplitude is half their gap, and the period is one cycle's length. A sinusoidal regression finds the best fit for you.
正弦型模型 $y = a\sin(b(x-c)) + d$ 拟合重复的数据:中线是最高与最低的平均,振幅是它们差距的一半,周期是一个循环的长度。正弦型回归替你找到最佳拟合。