Sinusoidal Functions · 正弦型函数
| English | 中文 | Pinyin · 拼音 |
|---|---|---|
| sinusoidal function/ˌsaɪnəˈsɔɪdl ˈfʌŋkʃn/ | 正弦型函数 | zhèng xián xíng hán shù |
| amplitude/ˈæmplɪtjuːd/ | 振幅 | zhèn fú |
| midline/ˈmɪdlaɪn/ | 中线 | zhōng xiàn |
| period/ˈpɪərɪəd/ | 周期 | zhōu qī |
| phase shift/feɪz ʃɪft/ | 相位平移 | xiàng wèi píng yí |
One wave, four dials
- The parent sine wave is fixed, but real waves come in every size and speed.
- Four numbers let you reshape it: taller or shorter, faster or slower, shifted up or sideways.
- Master those four and you can match any smooth periodic curve.
- This flexible family is called the sinusoidal functions.
一条波,四个旋钮
- 母正弦波是固定的,但真实的波有各种大小和快慢。
- 四个数让你重塑它:更高或更矮,更快或更慢,上移或左右移。
- 掌握这四个,你就能匹配任何平滑的周期曲线。
- 这个灵活的家族叫做正弦型函数。
The general form
- A sinusoidal function 正弦型函数 is $y = a\sin(b(x - c)) + d$.
- The amplitude 振幅 is $|a|$ — how far the wave rises above and below its centre.
- The midline 中线 is $y = d$ — the horizontal line the wave oscillates around.
- Cosine fits the same template; the two are interchangeable with a shift.
一般形式
- 正弦型函数(sinusoidal function)是 $y = a\sin(b(x - c)) + d$。
- 振幅(amplitude)是 $|a|$——波在它中心之上和之下摆动的距离。
- 中线(midline)是 $y = d$——波围绕振荡的那条水平线。
- 余弦符合同样的模板;两者通过一次平移可以互换。
In $y = a\sin(b(x - c)) + d$, the amplitude · 振幅 is… · 在 $y = a\sin(b(x - c)) + d$ 中,振幅是……
The coefficient $a$ stretches the wave vertically, so the amplitude · 振幅 is $|a|$. · 系数 $a$ 把波竖直拉伸,所以振幅是 $|a|$。
In $y = a\sin(b(x - c)) + d$, the midline is the line $y =$ ____. · 在 $y = a\sin(b(x - c)) + d$ 中,中线是直线 $y =$ ____。
Adding $d$ shifts the whole wave up, so the midline sits at $y = d$. · 加上 $d$ 把整条波上移,所以中线位于 $y = d$。
Amplitude and midline
- Change $a$ to stretch the wave taller or squash it flatter (or flip it if $a < 0$).
- Change $d$ to slide the whole wave up or down to a new midline.
- The maximum is $d + |a|$ and the minimum is $d - |a|$.
- So $a$ and $d$ together fix the top and bottom of the wave.
振幅与中线
- 改变 $a$,把波拉得更高或压得更平(若 $a < 0$ 则翻转)。
- 改变 $d$,把整条波上下滑动到新的中线。
- 最大值是 $d + |a|$,最小值是 $d - |a|$。
- 所以 $a$ 和 $d$ 一起确定了波的顶部和底部。
Reshape a sinusoid with four controls · 用四个控制项重塑一条正弦型曲线
y = a·sin(b(x − c)) + d
a sets the amplitude, b sets the period, c shifts it sideways, and d sets the midline. Change each and watch. · a 决定振幅,b 决定周期,c 左右平移,d 决定中线。逐个改变并观察。
The period · 周期 of $y = a\sin(b x) + d$ is… · $y = a\sin(b x) + d$ 的周期是……
The factor $b$ compresses the wave horizontally, so the period · 周期 shrinks to $\dfrac{2\pi}{b}$. · 因子 $b$ 把波水平压缩,所以周期缩小为 $\dfrac{2\pi}{b}$。
What is the period of $y = \sin(2x)$? (Use $\pi \approx 3.14$.) · $y = \sin(2x)$ 的周期是多少?(用 $\pi \approx 3.14$。)
Period · 周期 $= \dfrac{2\pi}{2} = \pi \approx 3.14$ — doubling $b$ halves the period. · 周期 $= \dfrac{2\pi}{2} = \pi \approx 3.14$——$b$ 翻倍,周期减半。
Period from b
- The number $b$ controls how quickly the wave cycles.
- The period 周期 is $\dfrac{2\pi}{b}$ — a bigger $b$ packs cycles closer together.
- So $y = \sin(2x)$ repeats twice as fast, with period $\pi$.
- Frequency (cycles per unit) is the reciprocal of the period.
由 b 决定周期
- 数 $b$ 控制波循环得多快。
- 周期(period)是 $\dfrac{2\pi}{b}$——$b$ 越大,循环挤得越紧。
- 所以 $y = \sin(2x)$ 重复得快一倍,周期为 $\pi$。
- 频率(每单位的循环数)是周期的倒数。
In $y = a\sin(b(x - c)) + d$, match each role. Select all · 所有 correct. · 在 $y = a\sin(b(x - c)) + d$ 中,匹配每个角色。选出所有正确的。
$b$ controls the period, not the amplitude. A phase shift of $c$ slides the wave sideways. The other three are correct. · $b$ 控制周期,而不是振幅。相位平移 $c$ 让波左右滑动。其余三条正确。
Phase shift from c
- The value $c$ slides the wave left or right — a phase shift 相位平移.
- Inside the function, $(x - c)$ moves the graph right by $c$ (the usual backwards rule).
- A phase shift lets a sine model line up with data that peaks at a chosen time.
- Together $a, b, c, d$ pin down any sinusoid exactly.
由 c 决定相位平移
- 值 $c$ 把波向左或向右滑动——即相位平移(phase shift)。
- 在函数里面,$(x - c)$ 把图像向右移 $c$(那条常见的反着来的规则)。
- 相位平移让正弦模型对齐在选定时刻达到峰值的数据。
- $a, b, c, d$ 一起,精确地确定任何一条正弦型曲线。
Remember $b$ sets the period, not the amplitude, and it works inversely: a larger $b$ gives a shorter period. And the shift $(x - c)$ moves the graph right, not left — the inside-the-function reversal trips many students.
记住 $b$ 决定周期,而不是振幅,而且它是反着起作用的:$b$ 越大,周期越短。而平移 $(x - c)$ 把图像向右移,不是向左——函数内部的这种反转让许多学生栽跟头。
Describe $y = 3\sin(2x) + 5$.
- Amplitude $|a| = 3$; midline $y = 5$; so it swings between $2$ and $8$.
- Period $= \dfrac{2\pi}{2} = \pi$ — one cycle every $\pi$ units.
- No phase shift ($c = 0$), so it starts a cycle at $x = 0$ on the midline, rising.
描述 $y = 3\sin(2x) + 5$。
- 振幅 $|a| = 3$;中线 $y = 5$;所以它在 $2$ 和 $8$ 之间摆动。
- 周期 $= \dfrac{2\pi}{2} = \pi$——每 $\pi$ 个单位一个循环。
- 没有相位平移($c = 0$),所以它在 $x = 0$ 处于中线开始一个循环,向上升。
A sinusoidal function $y = a\sin(b(x-c)) + d$ has amplitude $|a|$, midline $y = d$, period $\dfrac{2\pi}{b}$, and a phase shift of $c$. These four numbers reshape the parent wave to fit any smooth periodic pattern.
正弦型函数 $y = a\sin(b(x-c)) + d$ 的振幅是 $|a|$,中线是 $y = d$,周期是 $\dfrac{2\pi}{b}$,相位平移是 $c$。这四个数把母波重塑,以匹配任何平滑的周期模式。