Defining and Differentiating Parametric Equations · 参数方程的定义与求导
| English | 中文 | Pinyin · 拼音 |
|---|---|---|
| parametric equations/ˌpærəˈmetrɪk ɪˈkweɪʒnz/ | 参数方程 | cān shù fāng chéng |
| parameter/pəˈræmɪtə/ | 参数 | cān shù |
A curve traced by a moving point
- Instead of $y=f(x)$, describe a curve by giving $x$ and $y$ each as a function of a third variable.
- These are parametric equations 参数方程: $x=f(t)$ and $y=g(t)$, with parameter 参数 $t$.
- Think of $t$ as time: as $t$ runs, the point $\big(x(t),y(t)\big)$ traces the curve.
- This lets you draw loops and vertical stretches that no single $y=f(x)$ can.
由动点描出的曲线
- 不用 $y=f(x)$,而是把 $x$ 和 $y$ 各写成第三个变量的函数来描述曲线。
- 这就是参数方程:$x=f(t)$ 与 $y=g(t)$,带参数 $t$。
- 把 $t$ 想成时间:当 $t$ 变化,点 $\big(x(t),y(t)\big)$ 描出曲线。
- 这让你能画出没有任何单个 $y=f(x)$ 能画的环和竖直拉伸。
A curve a parameter traces · 参数追踪出的曲线
y = ax³ + bx
Parametric equations let a point sweep out curves — loops and vertical stretches no single $y=f(x)$ can draw. · 参数方程使点能够描绘出曲线 —— 包括环和垂直拉伸，这些是单一 $y=f(x)$ 无法绘制的。
In $x=f(t)$, $y=g(t)$, the variable $t$ is called the ____. · 在 $x=f(t)$, $y=g(t)$ 中，变量 $t$ 被称为 ____。
The parameter drives both coordinates. · 参数驱动两个坐标。
The parameter drives both coordinates
- At each $t$, plug into both equations to get a point $\big(x(t),y(t)\big)$.
- The curve is the path swept out as $t$ increases — with a direction of travel.
- Example: $x=\cos t,\ y=\sin t$ traces the unit circle counterclockwise.
- Eliminating $t$ (when possible) recovers a relation between $x$ and $y$.
参数驱动两个坐标
- 在每个 $t$,代入两个方程得到一点 $\big(x(t),y(t)\big)$。
- 曲线是 $t$ 增大时扫出的路径——带一个前进方向。
- 例:$x=\cos t,\ y=\sin t$ 逆时针描出单位圆。
- 消去 $t$(当可能时)可还原 $x$ 与 $y$ 之间的关系。
Which parametric equations trace the unit circle? · 哪些参数方程追踪单位圆？
$\cos^2 t+\sin^2 t=1$ traces the unit circle. · $\cos^2 t+\sin^2 t=1$ 描绘单位圆。
The slope $\tfrac{dy}{dx}$ from derivatives in $t$
- To find the curve's slope, differentiate each coordinate in $t$ and divide:
-
$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt}$$
- Both $\tfrac{dy}{dt}$ and $\tfrac{dx}{dt}$ come from the two equations; their ratio is the slope.
- (This is the chain rule: $\tfrac{dy}{dt}=\tfrac{dy}{dx}\cdot\tfrac{dx}{dt}$, rearranged.)
由 $t$ 的导数求斜率 $\tfrac{dy}{dx}$
- 要求曲线的斜率,对每个坐标关于 $t$ 求导再相除:
-
$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt}$$
- $\tfrac{dy}{dt}$ 和 $\tfrac{dx}{dt}$ 都来自两个方程;它们的比就是斜率。
- (这是链式法则:$\tfrac{dy}{dt}=\tfrac{dy}{dx}\cdot\tfrac{dx}{dt}$ 的重排。)
For a parametric curve, $\dfrac{dy}{dx}=$ · 对于参数曲线，$\dfrac{dy}{dx}=$
Top over bottom: $\frac{dy/dt}{dx/dt}$. · 上除以下：$\frac{dy/dt}{dx/dt}$。
For · 支持 $x=t^2$, $y=t^3$, $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{3t}{2}$. Find the slope at $t=2$. · 对于 $x=t^2$, $y=t^3$, $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{3t}{2}$。求在 $t=2$ 处的斜率。
$\frac{3(2)}{2}=3$.
Horizontal and vertical tangents
- Horizontal tangent: $\tfrac{dy}{dt}=0$ (and $\tfrac{dx}{dt}\neq0$) — the slope is $0$.
- Vertical tangent: $\tfrac{dx}{dt}=0$ (and $\tfrac{dy}{dt}\neq0$) — the slope is undefined.
- These come directly from the two component derivatives.
- So the same $\tfrac{dy}{dt}$, $\tfrac{dx}{dt}$ give both the slope and its special cases.
水平与竖直切线
- 水平切线:$\tfrac{dy}{dt}=0$(且 $\tfrac{dx}{dt}\neq0$)——斜率为 $0$。
- 竖直切线:$\tfrac{dx}{dt}=0$(且 $\tfrac{dy}{dt}\neq0$)——斜率无定义。
- 这些直接来自两个分量导数。
- 所以同样的 $\tfrac{dy}{dt}$、$\tfrac{dx}{dt}$ 既给出斜率也给出它的特殊情形。
A parametric curve has a horizontal tangent where... · 参数曲线在以下位置有水平切线：...
Horizontal ⇔ slope $0$ ⇔ $\tfrac{dy}{dt}=0$. · 水平 ⇔ 斜率 $0$ ⇔ $\tfrac{dy}{dt}=0$。
A vertical tangent occurs where $\dfrac{dx}{dt}=$ ____ (and $\tfrac{dy}{dt}\neq0$). · 垂直切线出现在 $\dfrac{dx}{dt}=$ ____ （且 $\tfrac{dy}{dt}\neq0$）的位置。
Zero $\tfrac{dx}{dt}$ → undefined slope → vertical. · 零 $\tfrac{dx}{dt}$ → 斜率未定义 → 垂直。
The slope is $\dfrac{dy/dt}{dx/dt}$ — a ratio of the two derivatives, not $\dfrac{d}{dt}\big[\tfrac yx\big]$ or $\dfrac{dy}{dt}\cdot\dfrac{dx}{dt}$. And it's top over bottom: $\tfrac{dy}{dt}$ divided by $\tfrac{dx}{dt}$. Swapping them inverts the slope.
斜率是 $\dfrac{dy/dt}{dx/dt}$——两个导数的比,而非 $\dfrac{d}{dt}\big[\tfrac yx\big]$ 或 $\dfrac{dy}{dt}\cdot\dfrac{dx}{dt}$。而且是上比下:$\tfrac{dy}{dt}$ 除以 $\tfrac{dx}{dt}$。交换它们会把斜率取倒数。
For $x=t^2,\ y=t^3$, find $\dfrac{dy}{dx}$ at $t=2$.
- $\dfrac{dx}{dt}=2t$, $\dfrac{dy}{dt}=3t^2$.
- $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{3t^2}{2t}=\dfrac{3t}{2}$.
- At $t=2$: $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{3(2)}{2}=3$.
对 $x=t^2,\ y=t^3$,求 $t=2$ 处的 $\dfrac{dy}{dx}$。
- $\dfrac{dx}{dt}=2t$,$\dfrac{dy}{dt}=3t^2$。
- $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{3t^2}{2t}=\dfrac{3t}{2}$。
- 在 $t=2$:$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{3(2)}{2}=3$。
Parametric equations $x=f(t)$, $y=g(t)$ trace a curve as the parameter $t$ varies. The slope is $\frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt}$ (top over bottom). A horizontal tangent has $\frac{dy}{dt}=0$; a vertical tangent has $\frac{dx}{dt}=0$.
参数方程 $x=f(t)$、$y=g(t)$ 随参数 $t$ 变化描出曲线。斜率是 $\frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt}$(上比下)。水平切线有 $\frac{dy}{dt}=0$;竖直切线有 $\frac{dx}{dt}=0$。