Integrating Using Linear Partial Fractions · 线性部分分式积分
| English | 中文 | Pinyin · 拼音 |
|---|---|---|
| Partial fractions/ˈpɑːʃl ˈfrækʃnz/ | 部分分式 | bù fèn fēn shì |
| linear factor/ˈlɪnɪə ˈfæktə/ | 一次因式 | yī cì yīn shì |
Break one hard fraction into easy ones
- Some rational functions can't be integrated directly, but split apart they become simple logs.
- Partial fractions 部分分式 rewrites one fraction as a sum of smaller fractions.
- Each piece has a single linear factor 一次因式 in its denominator — easy to integrate as a $\ln$.
- It's the reverse of adding fractions over a common denominator.
把一个难分式拆成几个易分式
- 有些有理函数无法直接积分,但拆开后就变成简单的对数。
- 部分分式把一个分式改写成更小分式的和。
- 每一块的分母里只有一个一次因式——容易积成一个 $\ln$。
- 它是"通分把分式相加"的逆过程。
Set up the decomposition
- Start with a rational function whose denominator factors into distinct linear factors.
- $\dfrac{1}{(x-1)(x+2)}=\dfrac{A}{x-1}+\dfrac{B}{x+2}$ for constants $A,B$ to be found.
- Each distinct linear factor $(x-r)$ gets its own term $\dfrac{\text{constant}}{x-r}$.
- (The numerator's degree must be less than the denominator's — divide first if not.)
建立分解
- 从分母能分解成不同一次因式的有理函数开始。
- $\dfrac{1}{(x-1)(x+2)}=\dfrac{A}{x-1}+\dfrac{B}{x+2}$,常数 $A,B$ 待求。
- 每个不同的一次因式 $(x-r)$ 有自己的一项 $\dfrac{\text{const}}{x-r}$。
- (分子的次数必须小于分母的——否则先做长除法。)
A rational function to split · 需要拆分的一个有理函数
y = a / (x − b)
A fraction over $(x-1)(x+2)$ has two vertical asymptotes; partial fractions splits it into two simple $\ln$ pieces. · 分母为$(x-1)(x+2)$的分式有两个垂直渐近线；部分分式将其拆分为两个简单的$\ln$部分。
The partial-fraction form of $\dfrac{1}{(x-1)(x+2)}$ is... · $\dfrac{1}{(x-1)(x+2)}$的部分分式形式为...
One constant over each distinct linear factor. · 每个不同的线性因子上一个常数。
If the numerator degree is not less than the denominator degree, you must divide first. · 如果分子次数不小于分母次数，必须先做除法。
Partial fractions needs a proper fraction. · 部分分式需要一个真分式。
This lesson handles denominators that factor into distinct ____ factors. · 本课处理可分解为不同____因子的分母。
Distinct linear factors $(x-r)$. · 不同的线性因子$(x-r)$。
Solve for the constants
- Multiply both sides by the common denominator to clear fractions.
- Then find $A,B$ by matching coefficients or by plugging in the roots (a fast shortcut).
- For $\dfrac{1}{(x-1)(x+2)}$: at $x=1$, $1=A(3)\Rightarrow A=\tfrac13$; at $x=-2$, $1=B(-3)\Rightarrow B=-\tfrac13$.
- Now the integral is a sum of simple pieces.
求常数
- 把两边乘以公分母以清除分式。
- 然后用系数比较或代入根(快速捷径)来求 $A,B$。
- 对 $\dfrac{1}{(x-1)(x+2)}$:在 $x=1$,$1=A(3)\Rightarrow A=\tfrac13$;在 $x=-2$,$1=B(-3)\Rightarrow B=-\tfrac13$。
- 现在积分是简单几块之和。
For · 支持 $\dfrac{1}{(x-1)(x+2)}=\dfrac{A}{x-1}+\dfrac{B}{x+2}$, find $A$ (plug $x=1$). · 对于$\dfrac{1}{(x-1)(x+2)}=\dfrac{A}{x-1}+\dfrac{B}{x+2}$，求$A$（代入$x=1$）。
At $x=1$: $1=A(3)\Rightarrow A=\tfrac13$. · 在 $x=1$ 处：$1=A(3)\Rightarrow A=\tfrac13$。
Integrate the pieces
- Each $\dfrac{A}{x-r}$ integrates to $A\ln|x-r|$.
- $\displaystyle\int\dfrac{1}{(x-1)(x+2)}\,dx=\tfrac13\ln|x-1|-\tfrac13\ln|x+2|+C$.
- So a messy rational integral becomes a combination of logarithms.
- Combine or leave the logs as the answer prefers.
对各块积分
- 每个 $\dfrac{A}{x-r}$ 积成 $A\ln|x-r|$。
- $\displaystyle\int\dfrac{1}{(x-1)(x+2)}\,dx=\tfrac13\ln|x-1|-\tfrac13\ln|x+2|+C$。
- 所以一个杂乱的有理积分变成对数的组合。
- 按需要合并或保留这些对数。
Each partial-fraction piece $\dfrac{A}{x-r}$ integrates to... · 每个部分分式$\dfrac{A}{x-r}$的积分为...
$\int\tfrac{A}{x-r}\,dx=A\ln|x-r|$.
$\displaystyle\int\dfrac{5}{(x-1)(x+4)}\,dx$ (with $A=1$, $B=-1$) equals... · $\displaystyle\int\dfrac{5}{(x-1)(x+4)}\,dx$（含$A=1$、$B=-1$）等于...
Integrate $\tfrac{1}{x-1}-\tfrac{1}{x+4}$. · 对$\tfrac{1}{x-1}-\tfrac{1}{x+4}$积分。
Partial fractions needs the numerator degree less than the denominator's — if not, do long division first. And it requires the denominator to actually factor into linear pieces; a repeated factor $(x-r)^2$ or an irreducible quadratic needs extra terms (beyond this lesson's distinct linear case). Each distinct factor gets exactly one constant.
部分分式需要分子次数小于分母的——否则先做长除法。而且它要求分母确实能分解成一次因式;重复因式 $(x-r)^2$ 或不可约二次式需要额外的项(超出本课的不同一次情形)。每个不同因式恰好对应一个常数。
Evaluate $\displaystyle\int\dfrac{5}{(x-1)(x+4)}\,dx$.
- Decompose: $\dfrac{5}{(x-1)(x+4)}=\dfrac{A}{x-1}+\dfrac{B}{x+4}$. At $x=1$: $5=5A\Rightarrow A=1$; at $x=-4$: $5=-5B\Rightarrow B=-1$.
- $\displaystyle\int\Big(\tfrac{1}{x-1}-\tfrac{1}{x+4}\Big)\,dx=\ln|x-1|-\ln|x+4|+C$.
求 $\displaystyle\int\dfrac{5}{(x-1)(x+4)}\,dx$。
- 分解:$\dfrac{5}{(x-1)(x+4)}=\dfrac{A}{x-1}+\dfrac{B}{x+4}$。在 $x=1$:$5=5A\Rightarrow A=1$;在 $x=-4$:$5=-5B\Rightarrow B=-1$。
- $\displaystyle\int\Big(\tfrac{1}{x-1}-\tfrac{1}{x+4}\Big)\,dx=\ln|x-1|-\ln|x+4|+C$。
Partial fractions splits a rational function with distinct linear factors into a sum $\frac{A}{x-r_1}+\frac{B}{x-r_2}+\cdots$; find the constants (match coefficients or plug in roots), then integrate each piece to a $\ln$. Requires numerator degree $<$ denominator degree — divide first otherwise.
部分分式把有不同一次因式的有理函数拆成和 $\frac{A}{x-r_1}+\frac{B}{x-r_2}+\cdots$;求出常数(系数比较或代入根),再把每块积成一个 $\ln$。要求分子次数 $<$ 分母次数——否则先除。