Interpreting the Behavior of Accumulation Functions Involving Area · 解释涉及面积的累积函数的行为
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| extrema/ekˈstremə/ | 极值 | jí zhí |
Reading $g$ from the graph of $f$
- If $g(x)=\int_a^x f(t)\,dt$, then by FTC Part 1, $g'=f$ — so $f$ is the derivative of $g$.
- That means everything from Unit 5 applies: use $f$ (as $g'$) to analyze $g$.
- The sign of $f$ tells you where $g$ increases and decreases.
- The zeros of $f$ (where it changes sign) locate the extrema of $g$.
从 $f$ 的图读出 $g$
- 若 $g(x)=\int_a^x f(t)\,dt$,则由 FTC 第一部分,$g'=f$——所以 $f$ 是 $g$ 的导数。
- 这意味着第 5 单元的一切都适用:用 $f$(作为 $g'$)来分析 $g$。
- $f$ 的符号告诉你 $g$ 在何处递增与递减。
- $f$ 的零点($f$ 变号之处)定位 $g$ 的极值。
When analyzing $g(x)=\int_a^x f\,dt$, the graph of $f$ acts as the graph of $g'$. · 分析 $g(x)=\int_a^x f\,dt$ 时，$f$ 的图像充当 $g'$ 的图像。
FTC Part 1: $g'=f$. · FTC 第 1 部分：$g'=f$。
Increase/decrease from the sign of $f$
- Where $f(x)>0$: $g$ is increasing (area is being added).
- Where $f(x)<0$: $g$ is decreasing (area is being subtracted).
- So look at the graph of $f$: above the axis → $g$ climbs; below → $g$ falls.
- $g$ is the running total of signed area, so its direction follows $f$'s sign.
从 $f$ 的符号看递增/递减
- $f(x)>0$ 之处:$g$ 递增(在加面积)。
- $f(x)<0$ 之处:$g$ 递减(在减面积)。
- 所以看*$f$ 的图*:在轴上方 → $g$ 攀升;在轴下方 → $g$ 下落。
- $g$ 是带符号面积的累计,所以它的方向跟随 $f$ 的符号。
g rises where f is positive · g 在 f 为正时上升
y = f(t) (the integrand = g′) · y = f(t)（被积函数 = g′）
While $f$ (the shaded height) is positive, the accumulated area $g$ increases; when $f$ turns negative, $g$ decreases. · 只要 $f$（阴影高度）为正，累积面积 $g$ 就会增加；当 $f$ 变为负值时，$g$ 会减小。
For · 支持 $g(x)=\int_a^x f(t)\,dt$, $g$ is increasing exactly where... · 对于 $g(x)=\int_a^x f(t)\,dt$，$g$ 恰好在...时递增
$g'=f$, so $g$ increases where $f>0$. · $g'=f$，所以 $g$ 在 $f>0$ 时递增。
Extrema of $g$ where $f$ changes sign
- $g$ has a local max where $f$ (its derivative) changes from positive to negative.
- $g$ has a local min where $f$ changes from negative to positive.
- These are just the First Derivative Test applied to $g$, using $f$ as $g'$.
- The extrema 极值 of the accumulation function sit at the $x$-axis crossings of $f$.
$g$ 的极值在 $f$ 变号之处
- $g$ 在 $f$(它的导数)从正变负之处有局部最大值。
- $g$ 在 $f$ 从负变正之处有局部最小值。
- 这只是把一阶导数检验用到 $g$ 上,以 $f$ 作为 $g'$。
- 累积函数的极值位于 $f$ 与 $x$ 轴的交点处。
$g$ has a local maximum where $f$ changes from... · $g$ 在 $f$ 从...转变为...时有局部极大值
$g'=f$ goes $+\to-$ → local max of $g$. · $g'=f$从$+\to-$变化 → $g$的局部最大值。
From the graph of $f$, you can read which features of $g=\int_a^x f\,dt$? · 从 $f$ 的图形中，你可以读出 $g=\int_a^x f\,dt$ 的哪些特征？
Increase/decrease, extrema, concavity — all from $f$. Exact values need the actual area. · 增减、极值、凹凸性均可从 $f$ 得出。精确值需要实际的面积计算。
Concavity of $g$ from the slope of $f$
- Since $g'=f$, we get $g''=f'$ — so the concavity of $g$ follows the slope of $f$.
- Where $f$ is increasing, $g$ is concave up; where $f$ is decreasing, $g$ is concave down.
- An inflection point of $g$ sits where $f$ has a local max or min (where $f'$ changes sign).
- One graph of $f$ tells you increase/decrease and concavity of $g$.
从 $f$ 的斜率看 $g$ 的凹凸性
- 因为 $g'=f$,得 $g''=f'$——所以 $g$ 的凹凸性跟随 $f$ 的斜率。
- $f$ 递增之处,$g$ 上凹;$f$ 递减之处,$g$ 下凹。
- $g$ 的拐点位于 $f$ 有局部最大或最小之处($f'$ 变号之处)。
- 一张 $f$ 的图就同时告诉你 $g$ 的递增/递减和凹凸性。
Since $g''=f'$, $g$ is concave up where $f$ is ____. · 由于 $g''=f'$，$g$ 在 $f$ 为 ____ 时上凸。
$g''=f'>0$ where $f$ rises. · $g''=f'>0$ 在 $f$ 上升处成立。
A large positive value of $f$ at $x$ means that $g$ is... · 一个很大的正值 $f$ 在 $x$ 意味着 $g$ 是...
$f=g'$ is the rate · 率; a large $f$ means $g$ rises fast, not that $g$ is big. · $f=g'$ 是速率；大的 $f$ 意味着 $g$ 上升快，而不是说 $g$ 本身大。
To analyze $g(x)=\int_a^x f\,dt$, treat the graph of $f$ as the graph of $g'$. Don't read $f$'s height as $g$'s height — read $f$'s sign for $g$'s increase/decrease, and $f$'s sign changes for $g$'s extrema. A big positive $f$ means $g$ is rising fast, not that $g$ is large.
要分析 $g(x)=\int_a^x f\,dt$,把 $f$ 的图当作 $g'$ 的图。别把 $f$ 的高度读成 $g$ 的高度——读 $f$ 的符号得 $g$ 的递增/递减,读 $f$ 的变号得 $g$ 的极值。很大的正 $f$ 意味着 $g$ 上升很快,而非 $g$ 很大。
$g(x)=\int_0^x f(t)\,dt$, where $f>0$ on $(0,3)$, $f(3)=0$, and $f<0$ on $(3,5)$.
- On $(0,3)$: $f>0$ → $g$ increasing. On $(3,5)$: $f<0$ → $g$ decreasing.
- At $x=3$: $f$ changes $+\to-$ → $g$ has a local maximum.
- So $g$ climbs to a peak at $x=3$, then falls.
$g(x)=\int_0^x f(t)\,dt$,其中 $f>0$ 在 $(0,3)$,$f(3)=0$,$f<0$ 在 $(3,5)$。
- 在 $(0,3)$:$f>0$ → $g$ 递增。在 $(3,5)$:$f<0$ → $g$ 递减。
- 在 $x=3$:$f$ 从 $+\to-$ → $g$ 有局部最大值。
- 所以 $g$ 攀升到 $x=3$ 的峰,然后下落。
For $g(x)=\int_a^x f(t)\,dt$, use $g'=f$: $g$ increases where $f>0$, decreases where $f<0$, and has extrema where $f$ changes sign. Since $g''=f'$, $g$ is concave up where $f$ is increasing. Read the graph of $f$ as the graph of $g'$.
对 $g(x)=\int_a^x f(t)\,dt$,用 $g'=f$:$g$ 在 $f>0$ 之处递增、$f<0$ 之处递减、$f$ 变号之处有极值。因为 $g''=f'$,$g$ 在 $f$ 递增之处上凹。把 $f$ 的图当作 $g'$ 的图来读。