Differentiating Inverse Functions · 反函数求导
| English | 中文 | Pinyin · 拼音 |
|---|---|---|
| inverse function/ɪnˈvɜːs ˈfʌŋkʃn/ | 反函数 | fǎn hán shù |
| reciprocals/rɪˈsɪprəklz/ | 倒数 | dào shǔ |
Slopes of a function and its mirror
- An inverse function 反函数 $f^{-1}$ undoes $f$: it reflects the graph across the line $y=x$.
- Reflecting swaps the roles of rise and run — so it flips the slope upside down.
- That gives a neat shortcut: you can find the inverse's derivative from the original's.
- Best of all, you often don't need a formula for $f^{-1}$ at all.
一个函数与它"镜像"的斜率
- 反函数 $f^{-1}$ 撤销 $f$:它把图像沿直线 $y=x$ 反射。
- 反射交换了纵变化与横变化的角色——于是把斜率上下翻转。
- 这给出一个巧妙的捷径:你可以从原函数求出反函数的导数。
- 最妙的是,你往往根本不需要 $f^{-1}$ 的公式。
The reciprocal-slope rule
- At matching points, the slopes of $f$ and $f^{-1}$ are reciprocals 倒数.
-
$$\big(f^{-1}\big)'(x)=\frac{1}{f'\!\big(f^{-1}(x)\big)}$$
- Read it as: the inverse's slope at $x$ is $1$ divided by $f$'s slope at the matching input.
- The matching input is $f^{-1}(x)$ — the point on $f$ that maps to $x$.
斜率互为倒数的规则
- 在对应点,$f$ 与 $f^{-1}$ 的斜率互为倒数。
-
$$\big(f^{-1}\big)'(x)=\frac{1}{f'\!\big(f^{-1}(x)\big)}$$
- 读作:反函数在 $x$ 处的斜率是 $1$ 除以 $f$ 在对应输入处的斜率。
- 对应输入是 $f^{-1}(x)$——$f$ 上映射到 $x$ 的那个点。
The derivative of an inverse is $\big(f^{-1}\big)'(x)=$ · 反函数的导数是 $\big(f^{-1}\big)'(x)=$
One over the original derivative at the matching input $f^{-1}(x)$. · 原导数在对应输入 $f^{-1}(x)$ 处的倒数。
Evaluate without inverting
- Usually you only need the derivative at one point, and you can skip finding $f^{-1}$.
- Say $f(2)=5$ and $f'(2)=3$. Then the point $(5,2)$ is on $f^{-1}$, so $f^{-1}(5)=2$.
- Apply the rule: $\big(f^{-1}\big)'(5)=\dfrac{1}{f'(2)}=\dfrac{1}{3}$.
- You never needed a formula — just the matching pair and one derivative value.
不求反函数也能求值
- 通常你只需要某一点处的导数,可以跳过求 $f^{-1}$。
- 设 $f(2)=5$、$f'(2)=3$。那么点 $(5,2)$ 在 $f^{-1}$ 上,所以 $f^{-1}(5)=2$。
- 套用规则:$\big(f^{-1}\big)'(5)=\dfrac{1}{f'(2)}=\dfrac{1}{3}$。
- 你根本不需要公式——只要那对对应点和一个导数值。
If $f(2)=5$ and $f'(2)=4$, find $\big(f^{-1}\big)'(5)$. · 若 $f(2)=5$ 且 $f'(2)=4$，求 $\big(f^{-1}\big)'(5)$。
$f^{-1}(5)=2$, so $\big(f^{-1}\big)'(5)=\tfrac{1}{f'(2)}=\tfrac14$. · $f^{-1}(5)=2$，所以 $\big(f^{-1}\big)'(5)=\tfrac{1}{f'(2)}=\tfrac14$。
To compute $\big(f^{-1}\big)'(c)$ at a point, which do you need? · 要在某点计算 $\big(f^{-1}\big)'(c)$，你需要哪个？
You need the matching input and $f'$ there (nonzero, so the reciprocal exists) — no full inverse formula. · 你需要匹配的输入和该点的 $f'$（非零，因此倒数存在）——无需完整的逆函数公式。
Why reciprocal? See the reflection
- Reflecting across $y=x$ turns a "rise of $3$ over run of $1$" into a "rise of $1$ over run of $3$."
- So a slope of $3$ becomes a slope of $\tfrac13$ — literally flipped.
- This is why $f$ and $f^{-1}$ have reciprocal slopes at corresponding points.
- (It also warns you: if $f'=0$ at a point, the inverse has a vertical tangent there — its slope is undefined.)
为何是倒数?看反射
- 沿 $y=x$ 反射,把"纵升 $3$、横进 $1$"变成"纵升 $1$、横进 $3$"。
- 于是斜率 $3$ 变成斜率 $\tfrac13$——真的翻了过来。
- 这就是为何 $f$ 与 $f^{-1}$ 在对应点的斜率互为倒数。
- (它也提醒你:若某点 $f'=0$,反函数在那里有竖直切线——斜率无定义。)
A slope and its reciprocal · 一个斜率及其倒数
y = x³ + 1
Reflecting a curve across $y=x$ flips rise and run — a slope of $3$ becomes $\tfrac13$ on the inverse. · 沿 $y=x$ 反射曲线会翻转上升和水平距离——斜率 $3$ 在反函数上变为 $\tfrac13$。
To find $\big(f^{-1}\big)'(5)$, you evaluate $f'$ at $5$. · 要找到 $\big(f^{-1}\big)'(5)$，你评估 $f'$ 在 $5$.
You evaluate $f'$ at the matching input $f^{-1}(5)$, not at $5$. · 你在匹配输入处评估 $f'$ 在匹配的输入处 $f^{-1}(5)$，而不是在 $5$.
At corresponding points, the slopes of $f$ and $f^{-1}$ are ____ of each other. · 在对应点上，$f$ 和 $f^{-1}$ 的斜率互为____。
Reflection across $y=x$ flips the slope. · 关于 $y=x$ 反射会翻转斜率。
If $f'(a)=0$ at the matching input, the inverse at the corresponding point has... · 如果匹配输入处的 $f'(a)=0$ 为...
Dividing by $0$ is undefined — the reflected tangent is vertical. · 除以 $0$ 无意义——反射后的切线是垂直的。
Use the derivative of $f$ at the matching input $f^{-1}(x)$, not at $x$ itself. For $\big(f^{-1}\big)'(5)$ you need $f'$ at the input that maps to $5$, i.e. $f'(f^{-1}(5))$, not $f'(5)$. Plugging $5$ straight into $f'$ is the classic error.
要用 $f$ 在对应输入 $f^{-1}(x)$ 处的导数,而不是在 $x$ 本身处。求 $\big(f^{-1}\big)'(5)$ 时,你需要映射到 $5$ 的那个输入处的 $f'$,即 $f'(f^{-1}(5))$,而非 $f'(5)$。把 $5$ 直接代入 $f'$ 是经典错误。
$f(x)=x^3+1$ has $f(1)=2$ and $f'(x)=3x^2$. Find $\big(f^{-1}\big)'(2)$.
- The matching input: $f^{-1}(2)=1$ (since $f(1)=2$).
- $f'(1)=3(1)^2=3$.
- $\big(f^{-1}\big)'(2)=\dfrac{1}{f'(1)}=\dfrac{1}{3}$.
$f(x)=x^3+1$ 满足 $f(1)=2$、$f'(x)=3x^2$。求 $\big(f^{-1}\big)'(2)$。
- 对应输入:$f^{-1}(2)=1$(因为 $f(1)=2$)。
- $f'(1)=3(1)^2=3$。
- $\big(f^{-1}\big)'(2)=\dfrac{1}{f'(1)}=\dfrac{1}{3}$。
The derivative of an inverse function is the reciprocal of the original's derivative at the matching point: $\big(f^{-1}\big)'(x)=\dfrac{1}{f'(f^{-1}(x))}$. Reflection across $y=x$ swaps rise and run, flipping the slope. You can evaluate it at a point using just a matching pair — no formula for $f^{-1}$ required.
反函数的导数是原函数在对应点导数的倒数:$\big(f^{-1}\big)'(x)=\dfrac{1}{f'(f^{-1}(x))}$。沿 $y=x$ 反射交换纵横变化,翻转斜率。你只用一对对应点就能在某点求值——不需要 $f^{-1}$ 的公式。