词汇
| English | 中文 | 拼音 |
|---|---|---|
| definite integral/ˈdefɪnət ˈɪntɪɡrəl/ | 定积分 | dìng jī fēn |
从这里出发,加上变化,到达那里
- 许多应用题给出一个速率和一个初始量,问之后的总量。
- 关键关系:最终值 = 初始值 + 累积变化。
- 累积变化是速率在区间上的定积分。
- 这一个想法驱动水箱、人口、账户等等。
累积公式
- 若 $R(t)$ 是速率、$Q$ 是量,则:
-
$$Q(b)=Q(a)+\int_a^b R(t)\,dt$$
- 从 $Q(a)$ 开始,加上净累积变化 $\displaystyle\int_a^b R(t)\,dt$,到达 $Q(b)$。
- 这是穿了应用外衣的 FTC:速率的积分是其量的净变化。
探索
流入的累积量即为面积
y = 4t（流入速率）
流入速率 $R(t)$ 下方的面积是加入的水量；总量等于初始量加上该面积。
练习
应用的累积关系式为：最终值 = ...
最终值 = 初始值 + 累积变化量。
练习
要求最终量，需将累积变化量加到 ____ 值上。
最终值 = 初始值 + 速率的积分。
读懂情境与单位
- 速率的定积分单位是*(速率单位)$\times$(时间)* = 量的单位。
- 升/分对分钟积分给出升;人/年对年积分给出人。
- 符号很重要:负速率(排水、冷却)从总量中减去。
- 永远用题目自己的措辞和单位来解读积分。
练习
一个水箱里有 $50$ L 水；水流以 $R(t)=4t$ 的速率流入持续了 $0\le t\le 3$ （$\int_0^3 4t\,dt=18$ ）。求 $t=3$ 时的总量。
$50+18=68$ L.
练习
如果 $R$ 的单位是升/分钟，$t$ 的单位是分钟，那么 $\int R\,dt$ 的单位是...
(升/分钟)×(分钟) = 升。
净变化 vs 总变化
- 积分 $\int_a^b R\,dt$ 是净变化——流入减流出。
- 若水箱既注水又排水,净积分自动兼顾两者。
- 要分别求总加入或总移除,只积分正部或负部。
- 但"最终 = 初始 + 净累积变化"总是用普通的带符号积分。
练习
速率的定积分给出的是变化量，而非最终的总量。
你必须加上初始值。
练习
对于流出（排水）速率，其在区间上的积分是...
流出速率为负 → 表示减少。
注意
别把单独的积分当作最终量——它只是变化。你必须加上初始值:最终 $=$ 初始 $+\int_a^b R\,dt$。并保持速率的符号:流出速率为负,所以它的积分正确地从起始总量中减去。
例子
一个水箱在 $t=0$ 装 $50$ L。水以 $R(t)=4t$ L/min 流入,$0\le t\le 3$。$t=3$ 时有多少?
- 累积变化:$\displaystyle\int_0^3 4t\,dt=\Big[2t^2\Big]_0^3=18$ L。
- 最终 $=$ 初始 $+$ 变化 $=50+18=68$ L。
- (积分 $18$ 是加入的水;$68$ 是总量。)
关键点
在应用情境中,最终值 = 初始值 + 累积变化,其中变化是速率的定积分:$Q(b)=Q(a)+\int_a^b R(t)\,dt$。积分带着量的单位和符号(流入相加,流出相减)。永远别忘了加初始值。