Quadratics · 二次式
| English | 中文 | Pinyin · 拼音 |
|---|---|---|
| parabola/pəˈræbələ/ | 抛物线 | pāo wù xiàn |
| quadratic/kwɒˈdrætɪk/ | 二次式 | èr cì shì |
| completing the square/kəmˈpliːtɪŋ ðə skweə/ | 配方法 | pèi fāng fǎ |
| vertex/ˈvɜːteks/ | 顶点 | dǐng diǎn |
| discriminant/dɪˈskrɪmɪnənt/ | 判别式 | pàn bié shì |
The path of a thrown ball
- Throw a ball and it traces a parabola 抛物线 — the same curve described by every quadratic 二次式 equation.
- Galileo proved this in 1638. Today, quadratics appear in physics, economics, engineering, and optimization.
- Mastering them means you can find the peak, the roots, and the shape of any parabola.
一个被抛出的球的路径
- 抛一个球,它描绘出一条抛物线(parabola)——和每个二次方程描述的同一条曲线。
- 伽利略在 1638 年证明了这一点。今天,二次式出现在物理、经济、工程和优化中。
- 掌握它们意味着你能找到任何抛物线的峰值、根和形状。
Completing the square 配方法
- A quadratic is $ax^2 + bx + c$ (with $a \neq 0$).
- Completing the square rewrites it as $a(x+p)^2 + q$.
- This reveals the vertex 顶点 (turning point) at $(-p,\ q)$.
- Example: $x^2 - 6x + 5 = (x-3)^2 - 9 + 5 = (x-3)^2 - 4$ → vertex $(3, -4)$.
Completing the square reveals the vertex directly: $y = (x-3)^2 - 4$ has its minimum at $(3, -4)$.
Worked example. Complete the square for $2x^2 + 8x + 3$: factor out $2$: $2(x^2 + 4x) + 3 = 2(x+2)^2 - 8 + 3 = 2(x+2)^2 - 5$. Vertex: $(-2, -5)$.
配方法
- 一个二次式(quadratic)是 $ax^2 + bx + c$(其中 $a \neq 0$)。
- 配方法(completing the square)把它重写为 $a(x+p)^2 + q$。
- 这揭示了在 $(-p,\ q)$ 的顶点(vertex,转折点)。
- 例子:$x^2 - 6x + 5 = (x-3)^2 - 9 + 5 = (x-3)^2 - 4$ → 顶点 $(3, -4)$。
配方法直接揭示顶点:$y = (x-3)^2 - 4$ 在 $(3, -4)$ 有它的最小值。
算例。 对 $2x^2 + 8x + 3$ 配方:提出 $2$:$2(x^2 + 4x) + 3 = 2(x+2)^2 - 8 + 3 = 2(x+2)^2 - 5$。顶点:$(-2, -5)$。
Completing the square, x² − 6x + 5 = (x − 3)² + q. What is the minimum value q? · 配方,x² − 6x + 5 = (x − 3)² + q。最小值 q 是多少?
(x − 3)² − 9 + 5 = (x − 3)² − 4, so q = −4 (the minimum value). · (x − 3)² − 9 + 5 = (x − 3)² − 4,所以 q = −4(最小值)。
Complete the square: 2x² + 8x + 3 = 2(x + p)² + q. What is p? · 配方:2x² + 8x + 3 = 2(x + p)² + q。p 是多少?
2(x² + 4x) + 3 = 2(x + 2)² − 8 + 3 = 2(x + 2)² − 5, so p = 2. · 2(x² + 4x) + 3 = 2(x + 2)² − 8 + 3 = 2(x + 2)² − 5,所以 p = 2。
The discriminant 判别式
- The discriminant is $\Delta = b^2 - 4ac$. It counts the real roots:
- $b^2 - 4ac > 0$ → two distinct real roots,
- $b^2 - 4ac = 0$ → one repeated root,
- $b^2 - 4ac < 0$ → no real roots.
- The quadratic formula: $x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$.
The sign of the discriminant fixes how many times the parabola meets the x-axis: two roots, one, or none
The discriminant is under the square root. If $b^2 - 4ac < 0$, you'd need $\sqrt{\text{negative}}$, which has no real value — so the parabola never crosses the $x$-axis.
A suspension bridge: the main cable hangs in a parabola
判别式
- 判别式(discriminant)是 $\Delta = b^2 - 4ac$。它数出实根的个数:
- $b^2 - 4ac > 0$ → 两个不同的实根,
- $b^2 - 4ac = 0$ → 一个重根,
- $b^2 - 4ac < 0$ → 没有实根。
- 二次公式:$x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$。
判别式的符号决定抛物线与 x 轴相交几次:两个根、一个,或没有
判别式在平方根下面。 如果 $b^2 - 4ac < 0$,你会需要 $\sqrt{\text{negative}}$,它没有实值——所以抛物线从不穿过 $x$ 轴。
一座悬索桥:主缆以一条抛物线悬挂
Explore the parabola · 探索抛物线
y = ax² + bx + c
Change a, b and c to reshape the curve — and watch the vertex · 顶点, roots · 根 and intercepts move. · 改变 a、b 和 c 来重塑曲线——并观察 顶点、根 和 截距 移动。
For x² + 4x + 1 = 0, what is the discriminant b² − 4ac? · 对于 x² + 4x + 1 = 0,判别式 b² − 4ac 是多少?
b² − 4ac = 4² − 4(1)(1) = 16 − 4 = 12 (> 0, so two distinct real roots). · b² − 4ac = 4² − 4(1)(1) = 16 − 4 = 12(> 0,所以两个不同的实根)。
If b² − 4ac < 0, the quadratic equation has: · 如果 b² − 4ac < 0,二次方程有:
A negative discriminant means the parabola never crosses the x-axis — no real roots. · 一个负的判别式意味着抛物线从不穿过 x 轴——没有实根。
The equation x² + 2x + 5 = 0 has two distinct real roots. · 方程 x² + 2x + 5 = 0 有两个不同的实根。
Discriminant = 2² − 4(1)(5) = 4 − 20 = −16 < 0, so no real roots. · 判别式 = 2² − 4(1)(5) = 4 − 20 = −16 < 0,所以没有实根。
Solving quadratics
- Factorising: fastest when it works. $x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3) = 0 \Rightarrow x = 2$ or $x = 3$.
- Completing the square: always works, reveals the vertex.
- Quadratic formula: always works, use when factorising is hard.
求解二次式
- 因式分解(factorising):有效时最快。$x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3) = 0 \Rightarrow x = 2$ 或 $x = 3$。
- 配方法:总是有效,揭示顶点。
- 二次公式:总是有效,在因式分解困难时用。
Solve x² − 5x + 6 = 0. What is the smaller root? · 求解 x² − 5x + 6 = 0。较小的根是多少?
x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3) = 0, so x = 2 or x = 3; the smaller is 2. · x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3) = 0,所以 x = 2 或 x = 3;较小的是 2。
Linked equations and modelling
- Quadratics model: projectile paths, profit curves, bridge arches, satellite dishes.
- The vertex gives the maximum (if $a < 0$) or minimum (if $a > 0$) value.
- Example: a profit function $P = -2x^2 + 40x - 150$. Maximum at $x = \dfrac{-40}{2(-2)} = 10$.
- You should solve quadratic equations and quadratic inequalities, and a pair of simultaneous equations (one linear, one quadratic).
联立方程与建模
- 二次式建模:抛射体路径、利润曲线、桥拱、卫星天线。
- 顶点给出最大值(如果 $a < 0$)或最小值(如果 $a > 0$)。
- 例子:一个利润函数 $P = -2x^2 + 40x - 150$。最大值在 $x = \dfrac{-40}{2(-2)} = 10$。
- 你应会解二次方程(quadratic equations)和二次不等式(quadratic inequalities),以及一对联立方程(simultaneous equations,一个线性、一个二次)。
You've got it
- complete the square: $a(x+p)^2 + q$, vertex at $(-p, q)$
- the discriminant $b^2 - 4ac$ counts real roots (+ two, 0 one, − none)
- solve with factorising, completing the square, or the quadratic formula
- the vertex gives the maximum or minimum value of the quadratic
你掌握了
- 配方:$a(x+p)^2 + q$,顶点在 $(-p, q)$
- 判别式 $b^2 - 4ac$ 数出实根(+ 两个,0 一个,− 没有)
- 用因式分解、配方法或二次公式求解
- 顶点给出二次式的最大或最小值